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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net

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>>253 > >>242-245 訂正が多いので、書き直し > > １．有限次超越拡大のアナロジー > 　１）Q(√2,π,√π)を取る。Q(√2)⊂Q(√2,π)⊂Q(√2,π,√π)＝Q(√2,√π)である。つまり、√2と√πによる拡大で、超越基底は√πである。 > 　２）ある人が、Q(√2,π,√π)の超越基底を（まちがって）πと考えたとする。しかし、√πの存在に気づいた。「 πと√πは代数的独立ではないのでだめ。終わり」とはならない。「 πと√πを取り換えるべし」が正解。 > 　３）∵π＝(√π)^2だから。そこで、一歩進めて、二つの超越数に対し s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)とできるとき*)、s2はs1に対し上位の超越数と呼ぶことにする。 > 　　（*) 陰関数 f(s1,s2)も考えるべきだが、話を単純化した。） > 　４）これは、有限次の超越拡大だが、無限次でも同様のはず。つまり、Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}で取り残しのある超越数xに気づいたとする。 > 　　もし、それがすでに取った超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}と代数独立でないとき、例えばxはs1に対し上位の超越数なら、超越基底Sのs1はxに変えるべき。 > 　５）これは、s1に限らず、すべての基底{・・・、s1,s2,s3,・・・}に対して比較が行われるべき。 > 　６）手順としては、むしろ、一度xを取り込んで、{・・・、s1,s2,s3,・・・,x}として、再度代数的独立が保たれるように、再調整するとした方がすっきりした説明だろう。
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