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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net

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>>222 > >>219 > 何が言いたいのか全然わからん。もう面倒くさいから証明形式にする。 > >>203の書き方ができることを以下で証明する。示すべきは > > ＞Q(S)＝{ g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n)｜n≧1, s_i∈S は全て異なる, f(X_1,…,X_n),g(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n], f(s_1,…,s_n)≠0 } > > という書き方である。"⊃" は明らかだから、"⊂" のみ示す。 > α∈Q(S) を任意に取る。α＝b/a を満たす a,b∈Q[S] が取れる。>>214の > > ＞Q[S]＝{ f(s_1,…,s_n)｜n≧1, s_1,…,s_n∈S, f(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n] } > > という表現により、 > > a＝f(s_1,…,s_n), b＝g(r_1,…,r_m), f(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n], g(X_1,…,X_m)∈Q[X_1,…,X_m] > > と表せる。ここで、s_1,…,s_n,r_1,…,r_m 全体の中から異なる元を全て選び出し、適当に番号をつけて > t_1,t_2,…,t_d とでもしておく。このとき、ある F(X_1,…,X_d), G(X_1,…,X_d)∈Q[X_1,…,X_d] が存在して > > f(s_1,…,s_n)＝F(t_1,…,t_d), g(r_1,…,r_m)＝G(t_1,…,t_d) > > と表せる(ほぼ自明)。よって、α＝G(t_1,…,t_d)/F(t_1,…,t_d) と表せる。 > まとめると、次が言えたことになる。 > > 任意の α∈Q(S) に対して、ある d とある t_1,…,t_d∈S と > ある F(X_1,…,X_d), G(X_1,…,X_d)∈Q[X_1,…,X_d] が存在して > α＝G(t_1,…,t_d)/F(t_1,…,t_d) と表せる。 > > よって、"⊂" が成り立つ。 > 以上より、>>203の書き方は「できる」。
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