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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net

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>>174 > なにやら書き方が悪かったようなので補足する。 > 定理4は、次の定理から即座に従う。 > > 定理 (Steinhaus theorem)　A⊂R はルベーグ可測で、m(A)＞0 だとする。 > このとき、あるε＞0が存在して、(−ε,ε) ⊂ { a−b｜a,b∈A } が成り立つ。 > > 一応、これを使って示しておく。 > > 定理4の証明　「 Q(S)はルベーグ非可測」ならば、それでよい。 > 以下、Q(S)はルベーグ可測としてよい。「 Q(S)はゼロ集合」ならば、それでよい。 > 以下、m(Q(S))＞0 としてよい。このとき、Steinhaus theorem より、あるε＞0が存在して、 > (−ε,ε) ⊂ { a−b｜a,b∈Q(S) } が成り立つ。Q(S)は体だから、{ a−b｜a,b∈Q(S) }⊂Q(S) である。 > よって、(−ε,ε) ⊂ Q(S) である。Q(S)は体だから、Q(S)＝R となることが簡単に示せる。■ > > というわけで、実はQ(S)だけでなく、一般の体でも同じことが言える。 > > ・ K⊂R は体とする。このとき、「 Kはルベーグ非可測」「 Kはゼロ集合」「 K＝R 」のいずれかが成り立つ。
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