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>>706 > 続き > > 命題(1): pAがn人の時、n日目の夜はpAが村を出ていくのに十分な時である (ただしn≧1) > > pAが1人の時 > pA自分以外が全てAでない印が付いている事を知り > その夜(1日目の夜)に出ていくので命題(1)は正しい …(2) > > pAがk人のときに命題(1)が正しいとの仮定の下で > pAがk+1人のときを考える > もしpAがk日目以前に村を出ていたら命題(1)は正しい > k日目までにpAが出ていかなかった場合 > pAは全てk人のpAを知っている > 自分についてはわからないのでpAの人数はk人またはk+1人のどちらか > しかし、仮定よりpAがk人だった場合にはk日目の夜までには出ていっているので > k+1日目にはpAはk+1人であり、当人もpAであることがわかる > よって、k+1日目の夜にk+1人のpAは村を出ていく、命題(1)は正しい …(3) > > (2)(3)から数学的帰納法により全てのn>1について命題(1)が正しいことが示された。 > > 以上のことより、pAがn人ならばn日目の夜はpAは出ていくのに十分な時であり > pAが出ていくことによりその翌日の夜はpBも自分の印がわかり村を出ていくのに十分である > (ただしpApB同数の場合はその対称性により、pBもn日目で十分) > > 必要性はまた後で(というか誰か頼む)
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