統計解析R たぶんpart3くらい

統計解析R たぶんpart3くらい (587ﾚｽ)
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抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) ﾚｽ栞あぼーん

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

281: 2019/06/16(日)06:52 ID:PJMZgBiU(1/2) AAS
[so-2](#so-2)のバグ：誤: `vector (t, x)` 正: `vector (x, t)`
でも誤の方が素直 - 数式上は`vector :: Time -> (Position -> Vector)`

$$\newcommand{\calM}{\mathcal{M}}\DeclareMathOperator*{\arginf}{arg\,inf}$$
$\calM$を多様体とし、その上の
[経験分布](外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
$p:\calM\to(0,1)$が与えられた時、モデル$q:\Theta\to(\calM\to(0,1))$を
[KL距離](外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
$D$を使って、$\theta_*:=\arginf_{\theta\in\Theta}D(p,q_\theta)$と
フィッティングするというのが典型的なパターンだと思う。[so](#so)では、
初期分布$\alpha:=q_0$と推定した分布$\beta:=q_{\theta_*}$を繋ぐ座標変換の
集合$\phi_t:\calM\to\calM$を具体的に作っている。写像$\phi_t$で$\alpha$が
$q_t$になったとすると、粒子数が保存すべしという要請は次のように
書かれる。$$\int_{x\in\phi_t(D)} q_t(x) = \int_{x\in D} \alpha(x)
\quad\text{for all}\quad D\subseteq\clM.$$$\phi_t(x)$が$x$について微分できる
ことを仮定すれば、この式は$\phi_t^*q_t=\alpha$という形にまとめられ、
$q_t$を$\phi_t$で
[プルバック](外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
すると$\alpha$になると読む。$\phi_t(x)$が$t$について微分できることと、
$x$について可逆なことを仮定すると、次の式が得られる。$$(\partial_t
+d\iota_{X_t})q_t = 0\quad\text{with}\quad\phi_t^*q_t = \alpha\eqtag{adv}$$
導出の経緯から、この式は頻出問題になっていて、
[移流](外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.orgという名前がついているが、
あまりに頻出過ぎて、多くの分野で名無しになっていると思う。問題は、
$q_1=\beta$となる$\eqref{eq:adv}$の解があるか？ということになる。
[so](#so)では、Moserのトリックを使って、そのような解があることを示している。
もう少し続ける。

282: 2019/06/16(日)06:54 ID:PJMZgBiU(2/2) AAS
Moserのトリックの副産物として、$\eqref{adv}$は
[ガウスの法則](外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.orgになる。
$\calM$が一次元の場合、電場$\iota_{X_t}q_t$が
[CDF](外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.orgに、
クーロンポテンシャルがCDFの積分に対応する。CDFのような単調増加関数を
[シグモイド関数](外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.orgで近似する
ことは自然なことだろう。同じことだが、
[LogSumExp](外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.orgでCDFの積分を近似する
ことも自然なことだろう。さらに、コードのように、初期分布と推定した分布が
局在化している場合は、局在箇所にシグモイドを対応させることで、効率的に
良い近似が得られる。

コードでバグったのはベクトル場$X_t$をプロットしているところだが、$X_t$の
プロットは、動作確認にはなるが、変化が激し過ぎて挙動の理解には向いていない。
$X_t$の計算では、性質上、ゼロ割に近い状況が発生することが避けらない。コード
では、そのケアに追われている。一方、Moserのトリックのおかげで、電場は時刻に
依存しない。シミュレーションを通して成り立つ大雑把な挙動の把握には電場の方が
向いている。

神経にできることは森にもお隣さんにもベイズにも安藤モアにもできる、多分。
逆も真なり。これにガウスにもできるが加わっただけかもしれないが、
今まで気が付かなかった。
[ありがとう](動画ﾘﾝｸ[YouTube]、
[いきものがかり](外部ﾘﾝｸ:arxiv.org
おしまい

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