純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (238ﾚｽ)
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153(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/27(日)00:13 ID:6EVaf5Z4(1/8) AAS
>>147
(引用開始)
>n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべての要素も後続順序数であること，とできるからである．』の通りで
え？？？？？？？？
君、1={0}を否定するの？ 0の前者は存在しない、すなわち0はいかなる順序数の後続順序数でもないことを知らないの？
(引用終り)
ふっふ、ほっほ
>>143 より再録
「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 外部ﾘﾝｸ[pdf]:fuchino.ddo.jp
より『P48
順序数 α が極限順序数でないとき，後続順序数であるという．
極限順序数の概念を使って自然数の全体の集合 N を定義することができ
る： n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべて
の要素も後続順序数であること，とできるからである．』
ここで、渕野先生
『n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべての要素も後続順序数であること，とできる』
この解釈は
↓
”n は 0 または (0以外の)後続順序数で (0以外の)n のすべての要素も後続順序数であること”
の略記じゃね？
まあ、”0は例外扱い”は常識（＝デフォルト）ですがなｗｗ
きみ、その指摘を 渕野先生にお手紙書いてねｗ
そして、その返事をここにアップしてくれたまえｗｗ ；ｐ）
155(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/27(日)00:31 ID:6EVaf5Z4(2/8) AAS
>>153 追加訂正
”n は 0 または (0以外の)後続順序数で (0以外の)n のすべての要素も後続順序数であること”
↓
”n は 0 または (0から誘導される)後続順序数で (0から誘導される)n のすべての要素も後続順序数であること”
が正確かもね
下記 順序数で
”ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく・・”
となっているので
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
順序数
順序数の大小関係
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の極限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は“永遠に”続いていくのである。
156(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/27(日)00:48 ID:6EVaf5Z4(3/8) AAS
>>154
>さっさと>>120に答えてよ
？>>120
>反例：正則性公理、選択公理
なんのこっちゃｗ
下記を百回音読してね
（両方とも、渕野先生は「・・存在する」と規定されていますｗ）
あと、先回りして 言っておくが
集合論では、関数or写像も集合に直せるよ（下記。google AIに、教えて貰えｗ）
>>143 より再録
「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 外部ﾘﾝｸ[pdf]:fuchino.ddo.jp
P15
（基礎の公理） 空集合でない任意の集合 x に対し，y ∈ x で，どんな
z ∈ x をとってきても z ∈ y とならないようなものが存在する．
上で y のようなものを x の ∈ に関する極小元とよぶことにする．
基礎の公理から，すべての集合 z に対し z ∈ z とはならないことがわかる．
Ｐ16
（選択公理） 空集合を要素として含まないような任意の集合 x に対し，
x から ∪x への写像 f で f(z) ∈ z がすべての z ∈ x に
対し成り立つようなものが存在する．
このような f は，集合族 x の一つ一つの要素 z から z の「代表元」 f(z)
を選び出す関数となっている．選択公理は AC と略記されることが多い．
google検索：集合論では、関数も集合
AI による概要（AI の回答には間違いが含まれている場合があります）
はい、集合論では関数も集合として定義されます。より正確には、関数は、ある集合から別の集合への対応を、特定の条件を満たす要素の集合として表されます。この対応は、関数のグラフとして知られています。
関数とは:
関数とは、ある集合（定義域）の各要素に対して、別の集合（値域）のただ一つの要素を対応させる規則のことです。例えば、"x を2倍する"という関数は、定義域の各数に、その数の2倍の数を対応させます。
公理的集合論:
公理的集合論では、集合を定義する際に、要素の存在や集合の包含関係などを規定する公理を用います。関数も、これらの公理に基づいて集合として定義されます。
163: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/27(日)08:54 ID:6EVaf5Z4(4/8) AAS
>>141 追加引用
岡潔先生とハウスドルフの集合論
について、追加引用
外部ﾘﾝｸ[pdf]:fuchino.ddo.jp
特集／集合・位相の考え方—数学の基礎をなす概念—
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
—現代，ないし(仮想的) 近未来の視点からの考察 渕野 昌
本稿は「数理科学」2022年6月号特集に寄稿した論考の2024年12月17日の時点での拡張版
Ｐ3
本稿のもとの表題「ハウスドルフと位相空間論の誕
生」は，『数理科学』の編集部から提案されたものだっ
たのだが，この提案を書き記した email を受けとっ
たときに，真っ先に頭をよぎったのは，岡潔の次の
ような逸話だった: [高瀬 200433)] にもあるように，岡
潔が奈良女子大で教えることになったとき，彼は，講
義の準備のために，ハウスドルフの「集合論」を読み
込んでいる．高瀬氏によると34)，これは，昭和 24 年
(1949) のことで，読んだのは 1927 年版の [Hausdorff
192716)] だった，ということである．このとき，岡潔
が選んだのが，その当時から 20 年以上も前に出版さ
れた [Hausdorff 192716)] だったのは，なぜだったのか？
というのは，筆者が長年抱いていた疑問だった (高瀬
さんに聞くまでは，読んだのは，てっきり，[Hausdorff
191415)] の方だと思っていたので，不思議の感はより
大きなものだった)．この疑問に関連する話題につい
ては，第 4 節で触れることになる．
P10
4. 数学の教科書としての，[Hausdorff 191415)]
と，[Hausdorff 192716)]
以下略
185(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/27(日)19:53 ID:6EVaf5Z4(5/8) AAS
>>183
>その酷く醜い知能をこちらに見せないで
ふっふ、ほっほ
「ハイ、鏡！」ｗ
おサル＝サイコパス＊のピエロ（>>5）
サイコパスの本領発揮かい？ｗ（”サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む”（>>5）ｗｗ）
さて
１）ωa ＝ ∩a^、a^ ＝ {x ∈P(a) | M(x)}、1つ無限集合 a 、P (a) は a の「冪集合」
（a^ は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合で
a^ の全ての元の共通部分を取ります
このようにして得られた無限集合 ωa は、 元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります
これを単に ω と書き、 自然数全体の集合と呼びます (>>171より 外部ﾘﾝｸ:ufcpp.net )）
こちらの式の問題点は、>>177に指摘の通りで ”「x は無限集合である」という命題を M(x) とし”の部分であって
ここを きちんと 集合の言葉で書けるかどうか？ そこが問題です
２）N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}（Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもので、下記のペアノ公理 ja.wikipedia に 誰かが書いた式）
この二つの式は、明らかに異なりますね
前者１）は、無限集合 a の 「冪集合」P (a) を経由して 自然数全体の集合 ωを定義しようとするのですが
これは、一理ある
後者２）は、明らかに 「冪集合」P (a) は 経由していない から 本質的に別の式だね
また、自然数の集合Nが きちんと集合論として定義されているかどうか？
特に 本来の自然数以外の(以上の)元を 含んでしまっていないか？
そこが、すっきりしないから こっちはダメじゃないの？ｗ ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
自然数の集合論的構成
N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}
ここでAは無限公理により存在する集合を任意に選んだものである
186: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/27(日)19:56 ID:6EVaf5Z4(6/8) AAS
>>184
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ さん、いつもありがとうございます。
>しかしスレ主さんだっけ先輩から見守られてて素敵。
プロ数学者の御大のことでしょ？
先輩ではないですよ
世界的な 数学者です
191: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/27(日)22:46 ID:6EVaf5Z4(7/8) AAS
資料提供：
下記 向井 国昭先生、慶應 情報系だが
学歴 1971年東京大学, 理学部, 数学科
・”公理は「これこれの集合が存在するならばしかじかの集合が存在する」という 条件文の形で述べられる”
・”定義 2.6 (A から B への関数) 関数 f が直積 A ×B の部分集合で，dom(f) = A のとき，f を A から B への関数とよぶ”
・”公理 2.10 (無限公理) 次のような集合 N ≠0 が存在する: ∀x(x ∈ N → {x} ∈ N).
無限公理は, 自然数の全体と同じ大きさの集合, すなわち少なくともひとつの無限集合の存在を主張している.”
（補足）
公理 2.10 (無限公理) は、情報系の人向けの簡略形でしょう
まあ、当座は これでも良いんだ
ちょっと、簡略しすぎの気もしますが ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
向井 国昭
ムカイ クニアキ (Kuniaki Mukai)
基本情報
所属慶應義塾大学 環境情報学部 環境情報学科 環境情報学部 環境情報学部 環境情報学科 教授
学位
工学(東京工業大学)
学歴 2
- 1971年東京大学, 理学部, 数学科
- 1971年東京大学
外部ﾘﾝｸ[pdf]:web.sfc.keio.ac.jp
集合論ベーシック
(2009 年度版)
向井 国昭
P2
個々の公理は，どんな集合が V に存在するかを規定
する．公理は「これこれの集合が存在するならばしかじかの集合が存在する」という
条件文の形で述べられる．
P10
省14
194(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 07/27(日)23:58 ID:6EVaf5Z4(8/8) AAS
>>188
ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリ、しぶといなぁ〜、まだ動いているよｗ ；ｐ）
(引用開始)
>こちらの式の問題点は、>>177に指摘の通りで ”「x は無限集合である」という命題を M(x) とし”の部分であって
>ここを きちんと 集合の言葉で書けるかどうか？ そこが問題です
なんとか先生のφ(x)を使え
(引用終り)
「x は無限集合である」という命題が M(x)だというが
言葉で書けば簡単だが、”無限”という用語は使えないよ
”無限”という用語を使わずに
「x は無限集合である」という意味を 集合の言葉として M(x)を どう書けばいいのか？
それが、問題だ by ハムレット
なお
『N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}（Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの』>>185
において
下記の ja.wikipedia 順序数の大小関係 を借用して
A={0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω)))}
を考えよう
x1={0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)}
x2={0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω))}
x3={0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω)))}
このとき、xi⊂A ｜i=1,2,3 だから
∩(i=1〜3) xi＝{0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)}
となる
N≠∩(i=1〜3) xi
ですよ
つまり、自然数Nに余計な ω, S(ω) が入りましたｗ ；ｐ）
なので、『N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}』このままでは
自然数Nの規定としては、ちょっとまずい
で、記号∩ なんて、メンドクサイものを使うのをやめれ
省10
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