ツイッタラ「√2は存在するのか？存在するなら値はどうやって求めるんだよ」 (38ﾚｽ)
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34(2): 06/25(水)00:56 ID:EQ5zVOcK(1/4) AAS
f(x)＝x^2−2 と置くと、f はR上の連続関数であり、
f(0)＝−2 かつ f(2)＝2 すなわち f(0)＜0＜f(2) なので、
連続関数に対する中間値の定理から、f(α)＝0 を満たす
実数αが 0＜α＜2 の範囲に存在する。このαは α^2−2＝0 を満たす。
すなわち、αは「2乗すると2になる正の実数」である。
36: 06/25(水)21:53 ID:EQ5zVOcK(2/4) AAS
>>35
デデキント完備な順序体を前提にすればよい。
Rはデデキント完備な順序体の一例である。
そのようなRに対して、連続関数に対する中間値の定理が成立し、
よって>>34の議論が適用できて、「2乗すると2になる正の実数」が
Rの中に存在することが判明する。
37: 06/25(水)21:56 ID:EQ5zVOcK(3/4) AAS
従って、>35の問いは
「デデキント完備な順序体の存在性を前提にしてよいのか？」
という問いに還元される。この問いについては、ZFC集合論を前提にすればよい。
ZFC集合論を前提にすれば、その中でデデキント完備な順序体が実際に構成できる。
38: 06/25(水)22:00 ID:EQ5zVOcK(4/4) AAS
従って、>>35の問いは
「ZFC集合論を前提にしてよいのか？」
という問いに還元される。この問いに関しては、
現代数学が実際にZFC集合論を前提にして展開されているので、
「ZFC集合論を前提にしてよい」
と言える。
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