ベクトル束ってなんの役に立つの？

32: 01/22(水)00:21 ID:/r3L9beS(1/3) AAS
物理学では色々な量がベクトル束の切断として定式化される。
正確には主G束を導入することで対称性を定式化する。主G束は一次元層コホモロジーでパラメトライズされるから、コホモロジー長完全列に現れる特性類を用いて対称性構造の一意性や存在性に関する分析ができる。さらに主G束に接続を導入することでさまざまなG不変な微分方程式を同伴束に定式化できるし、切断をLpやソボレフ、ヘルダーにすれば通常の偏微分方程式論を展開できる。方程式の解のなす空間を対称性によって割るとモジュライ空間になり、この空間のトポロジーを調べると、もとの多様体の解析的構造に関する情報が推測できる。成果としてはリッチフローの方程式を使って幾何化予想を解いたり、ヤンミルズ方程式を使ってドナルドソンの定理を示したり。

33(2): 01/22(水)08:22 ID:LgUwuh2U(1) AAS
> 主G束は一次元層コホモロジーでパラメトライズされるから、
　それ分割原理(Splitting principle)のこと？
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org

34(1): 01/22(水)08:45 ID:PJKN2wIh(1) AAS
>>33
1次の乗法的コサイクルの同値類が束

35(1): 01/22(水)11:46 ID:/r3L9beS(2/3) AAS
>>33
主G束での変換関数についてのg_ab g_bc=g_abは{g_ab}が層コホモロジーのKerδの元なことと同じ。
Imδで割るのは複数の変換関数が同じ束を定める条件式が出るから。

そもそも層コホモロジーのモチベーションって貼り合わせ方を分類することだから。
だから複素幾何では正則線束を調べるためにピカール群使ってる。

36: 01/22(水)11:47 ID:/r3L9beS(3/3) AAS
g_ab g_bc=g_acだ

37: 01/22(水)12:04 ID:iqug2L8A(1) AAS
光゜

38: 01/23(木)08:14 ID:gsIjQBrb(1/3) AAS
光゜ると
ある場ねえぜ

39: 01/23(木)08:33 ID:gsIjQBrb(2/3) AAS
寝論背減り

40(1): 01/23(木)08:42 ID:8wmoImeb(1) AAS
>>34-35
これのことか？

バーコフ・グロタンディークの定理
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org

41: 01/23(木)08:47 ID:gsIjQBrb(3/3) AAS
リーマン球面上の正則ベクトル束に限る

42: 01/23(木)11:38 ID:UuOoYqcc(1) AAS
>>40
「主束層コホモロジー」
でググれば出てくる
Wikiには無いんじゃない？nLabには書いてあった気がする。

43: 01/24(金)06:38 ID:9z1sviy7(1/2) AAS
「光゜る」はググっても出てこない

44: 01/24(金)22:47 ID:9z1sviy7(2/2) AAS
ベクトル束と言えば特性類

45: 01/25(土)06:53 ID:RS4NiB9F(1) AAS
Chern-Weil

46: 01/25(土)10:18 ID:mqFoRgmR(1) AAS
Xをスキームとして、準連接次数付きOX代数の層Rの相対Specをconeと呼び、特にRが有限階数局所自由層Eの双対によって生成される対称代数であるときにベクトル束と呼ぶ
つまりスキームに対して次数付き代数が対応することが便利

47: 01/25(土)11:43 ID:H1/C2Rtq(1) AAS
有限階数局所自由層をベクトル束と呼んでも
かまわないのでは？

48: 01/25(土)12:31 ID:C0hW4015(1) AAS
次数付きなので乗法群スキームの作用が入るとか、射影バンドルはSpecをProjに置き換えるだけとか、導来圏だとconeの方が扱いやすいとか

49: 01/25(土)14:31 ID:dFvrcu6F(1) AAS
磁束

50: 01/26(日)02:55 ID:N0YZ0iPc(1/2) AAS
Gauss-Bonnetの定理の一般化ができる

51: 01/26(日)22:26 ID:N0YZ0iPc(2/2) AAS
prolongation

52: 02/09(日)05:35 ID:bOyjY4Ig(1) AAS
束凸性は
いろいろ役に立つ

53: 03/07(金)11:50 ID:XZe44XRn(1/2) AAS
上空移行の原理が発端とも考えられる

54: 03/07(金)22:27 ID:XZe44XRn(2/2) AAS
消滅定理から埋め込み定理へ

55(2): 07/08(火)23:07 ID:9TCt2e87(1) AAS
>>2
3次元球面の接束は直積束だが

56: 07/09(水)08:32 ID:bYOqteIE(1/2) AAS
>>55

>3次元球面の接束は直積束だが

2を見たらこう書いてあるのだが↓

局所的には直積だが、大域的にはねじれてるので直積でない
したがって、至る所０でない切断が存在しないことがある
典型的な例は球面の接束

57: 07/09(水)08:34 ID:bYOqteIE(2/2) AAS
S²の接束は自明ではない
S³はリー群だから接束は自明

58: 07/10(木)06:42 ID:M6J7jXlk(1) AAS
接束が自明なStein多様体は
複素数空間上の不分岐なRiemann領域であるというのが
未解決の難問の一つ

59: 07/10(木)13:04 ID:0/3gipAH(1/4) AAS
7次元球面の接束も自明

60(2): 07/10(木)13:47 ID:qwXn1rLH(1/2) AAS
>>2の文章の球面はもちろん２次元曲面
だから>>55がスットコドッコイ

61(1): 07/10(木)13:49 ID:qwXn1rLH(2/2) AAS
逆に言うと接束が自明なｎ次元球面はn=1,3,7の場合に限る・・・筈（笑）

62: 07/10(木)14:10 ID:0/3gipAH(2/4) AAS
>>60
ベクトル束(幾何)のスレで、球面と書けばすべての次元の球面と捉えるのが普通
幾何学の世界で「球面=2次元」と思っている方が非常識

63(1): 07/10(木)14:12 ID:0/3gipAH(3/4) AAS
>>61
ボットの周期性から分かる

64(1): 07/10(木)14:20 ID:PNfqK51i(1) AAS
>>60
数学もロクに知らん素人が大多数の５ｃｈで、球面と書けば２次元の球面のこと
球「面」と書いてるのに、任意ｎ次元だと飛躍するのは独善的な玄人だけ

65: 07/10(木)14:22 ID:oHdjso7R(1) AAS
>>63
そういうものがあるのは知ってるが
どうやって証明するかは知らんから
自分にとっては全然自明ではない（開き直り）

66(1): 07/10(木)14:26 ID:0/3gipAH(4/4) AAS
>>64
素人だろうが、ベクトル束を語るには「球面=2次元」という認識は非常識

67(1): 07/10(木)14:34 ID:/5WUxJs4(1) AAS
球面＝S^2=2次元なのは当たり前の話、それ以外ありえない！
な人がべくたーばんどるガーって面白いね

68: 07/10(木)15:08 ID:eIeANp6j(1) AAS
>>66-67
非自明束の例を示すのに「球面」といってるんだから
２次元球面のことだなと考えない奴のほうが独善的じゃね？

69(2): 07/12(土)14:00 ID:CRbmpcRI(1) AAS
ベクトル束ね、あれ、めっちゃ難しい概念だけど、簡単に言うと、なんか空間の各点にベクトル空間がくっついてるみたいなイメージかな。

で、なんの役に立つかっていうと、物理とかで結構使われてるみたい。例えば、電磁気学とか、素粒子物理学とかのゲージ理論っていうやつで、このベクトル束の考え方が出てくるらしいよ。

あとは、多様体っていう、ぐにゃぐにゃした図形の上で、ベクトル場とか関数を考えるときに、土台になってるんだって。なんか、球の表面でベクトルがどうなってるかとか、そういうのを数学的に厳密に扱うために必要なんだってさ。

まあ、正直、私もそこまで詳しくないんだけど、そういう最先端の物理とか数学の理論を理解するためには、ベクトル束って概念が欠かせないってことみたい。

70(1): 07/12(土)19:40 ID:mlj38ULS(1) AAS
>>69　高卒？

71(1): 07/12(土)20:11 ID:IFdLGSYQ(1) AAS
>>70
専門家でないとここまで要点を抑えた説明はできない

72: 07/12(土)20:33 ID:6bBL9Q7c(1) AAS
>>69は何かGrokっぽい

73(1): 07/13(日)05:30 ID:fe2VeRKF(1) AAS
>>71　かいかぶり　相手を見る目が全くない

74: 07/13(日)11:22 ID:cK9tD6r7(1) AAS
>>73
その理由を要点を抑えて的確に述べるなら？

75: 07/14(月)08:05 ID:TRwfm+7u(1) AAS
見る目がまったくないのはどっちだろうね

76: 07/14(月)10:19 ID:CzfF1GI6(1) AAS
知る人ぞ知る

77: 07/14(月)18:45 ID:Wk/HyQls(1) AAS
耄碌爺　AIを絶賛ｗｗｗｗｗｗｗ

78: 07/27(日)05:30 ID:XV6Sr7tY(1) AAS
AIがここまで成長したとは

79: 07/27(日)10:05 ID:egri6DUI(1/2) AAS
微分可能多様体では各点における接空間が基本的で重要
各点の接空間を全て集めたものを考える。これが接バンドル
接バンドルの一般化がベクトルバンドル
ベクトルバンドルを調べるのに重要なのが特性類

多様体Mの接バンドルTM=∪p∈M T𝔭M
接ベクトルX∈T𝔭Mに対してπ(X)=pとおくとπ: TM→Mは射影である
π⁻¹: M→TMでありπ⁻¹(p)=T𝔭M

80: 07/27(日)11:31 ID:egri6DUI(2/2) AAS
(1) M=Rⁿの時、TMは積多様体Rⁿ×Rⁿと同一視出来る
(2) MがRⁿの部分多様体の時、
TM={(p, v)∈(M, T𝔭M)⊂TRⁿ}と書ける
TRⁿ=Rⁿ×Rⁿ、
v∈T𝔭M⊂T𝔭Rⁿ={p}×Rⁿ
(3) 一般の場合
多様体MのアトラスをS、Sに属する局所座標系を(U, φ)とする。φ(U)⊂Rⁿ
接ベクトルv∈T𝔭Uに対して
φ※(v)=∑aᵢ∂/∂xᵢ
写像φ~: π⁻¹(U)→φ(U)×Rⁿ⊂R²ⁿを次で定義する
v∈T𝔭Uに対し、φ~(v)=(φ(p), a1, a2, …, an)∈φ(U)×Rⁿ
φ~は1対1上への対応
各π⁻¹(U)が開集合であり、φ~は位相同型であることを要請することによりTMの位相を定義する
TMのアトラスS~={(π⁻¹(U), φ~)}={(T𝔭U, φ~)}
(U, φ)∈S、接ベクトルの変換公式
座標変換が全てC^∞級となる

81: 07/28(月)23:23 ID:xscbMIIo(1/2) AAS
n次元実ベクトルバンドルξ=(E, π, M)
E, MはC^∞多様体、π: E→Mは上へのC^∞写像
(1) ∀p∈M: π⁻¹(p)はR上のn次元ベクトル空間
(2) ∀p∈M, ∃pの開近傍U: 微分同相写像φᴜ: π⁻¹(U)≅U×Rⁿが存在し、
π⁻¹(q)への制限が線型同型写像∀q∈U: φᴜ: π⁻¹(q)≅{q}×Rⁿを与える
ここでRをCに変えるとn次元複素ベクトルバンドル
直線バンドル

Eは全空間、Mは底空間、πは射影
π⁻¹(p)=E𝔭をp上のファイバーと言う
(E, π, M)でなくπまたはEだけでもベクトルバンドルと言う
一般に、開集合とは限らずMの部分多様体Nに対して局所自明性の条件を満たす微分同相写像φɴ: π⁻¹(N)≅N×RⁿをN上の自明化と言う
変換関数は2つの自明化のずれを表す

コサイクル条件αβ βγ=αγ
開被覆とコサイクル条件によりベクトルバンドルを構成出来る

ベクトルバンドル同士の写像をバンドル写像
π: E→M、π: F→N、f: M→Nに対して
f~: E→F
積バンドルと自明なバンドル
同型はベクトルバンドル全体に同値関係を定める

82: 07/28(月)23:39 ID:xscbMIIo(2/2) AAS
ベクトルバンドルπ: E→Mに対して
π◦s=idᴍとなるC^∞写像s: M→Eを切断と言う
切断sとは点pに対してその上のファイバーの点s(p)を対応させるもの
切断を使って自明化を言い換えることが出来る
切断全体に加法とスカラー倍を定義することが出来てベクトル空間になる。
接バンドルTMの切断はM上のベクトル場

83: 07/29(火)01:38 ID:DdD2J7E9(1/2) AAS
一点上のベクトル束って何になるの？

84: 07/29(火)02:58 ID:UneUSwqp(1) AAS
包茎には無理だよ
こほもろじーでもやってな

85: 07/29(火)12:43 ID:DdD2J7E9(2/2) AAS
一点上のK理論を考えよ

86: 08/11(月)18:08 ID:NiWtmzU4(1) AAS
物理法則に幾何学的根拠を与える

87: 08/16(土)06:34 ID:Y/oq8rzJ(1) AAS
特性類

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