[過去ログ] 背理法と対偶って違うの? (117レス)
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109(3): 2024/12/10(火)10:52 ID:ytuvmVUS(1/5) AAS
>>108
>背理法と対偶法は思考のロジックとして
>ほぼほぼ同じ内容です>>96
あんまり、数学に向いていない 雑な思考をしますねw ;p)
>>107より
証明手法として
1)普通の証明(P→Q)(直接法)
2)対偶法 (間接法)
3)背理法 (間接法)
となります
対偶法と背理法とは、同じ間接法に分類されます
古典論理で
1)直接法 P→Q
2)対偶法 ¬Q→¬P
3)背理法 ¬Q⋀P→空(矛盾) (集合では¬Q ⋂ P=Φ(空集合))
少し補足しましょうね >>107より
いつもの例題 √2が無理数であることの証明で示す
命題:実数 x^2=2→xは無理数である
p:実数 x^2=2、q:xは無理数
これを、直接法 p→q を示そうとするとき
出発点で使える条件は、”x^2=2” のみ
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
典型例が、連分数の理論です
連分数の理論で、√2が無限に循環する連分数表示を持つことが分かる(下記)
よって、√2は無理数である (”無限連分数が無理数である”ことは、既知として)■
一方、背理法ならば ¬q⋀p→空(矛盾) を示せばいいので
¬q:xは有理数 x=a/b (a/bは既約分数)
p: x^2=2
つまり、二つの条件 x=a/b と x^2=2 とが使える利点があります (頻出なので、後は略す)
さて、対偶法です
¬q:x=a/b → p: x^2≠2
省19
110: 2024/12/10(火)10:56 ID:ytuvmVUS(2/5) AAS
>>109 タイポ訂正
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
↓
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直接示すには、大理論を持ちだすしかない
111: 2024/12/10(火)11:11 ID:ytuvmVUS(3/5) AAS
>>109 補足
>なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
>典型例が、連分数の理論です
補足しておきます
下記 無理数 で、無理数判定法があります
なので、√2が無限連分数表示を持つことから、下記の無理数判定法に持ち込んで
『√2は無理数』を示すのが、大学学部レベルの一つの直接証明法でしょう
(参考)
外部リンク:ja.wikipedia.org
無理数
無理数判定法
任意の ε > 0 に対して不等式
0<|α−p/q|<ε/q
が有理数解 p/q
を持つとき、α は無理数である。
多くの無理性の証明はこれを用いている。これは α が無理数であるための必要十分条件でもある。
性質
無理数を十進小数で表記すると、繰り返しのない無限小数(非循環小数)になる。これは記数法の底によらず一般の N 進小数でも成り立つ。
α を無理数とすると、
|α−p/q|<1/q^2
を満たす無限に多くの有理数
p/q
が存在する(ディリクレの定理)。
なお、このように無理数の有理数による近似を扱う理論はディオファントス近似と呼ばれる数論の分野に属する。
代数的無理数と超越数
無理数のうち、代数的数であるものを代数的無理数、そうでないものを超越数という。
α が代数的数、κ > 2 ならば、
|α−p/q|<1/q^κ
を満たす有理数
p/q
は有限個しかない(トゥエ−ジーゲル−ロスの定理)[5]。
省3
112: 2024/12/10(火)11:42 ID:ytuvmVUS(4/5) AAS
AA省
114: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/10(火)16:00 ID:ytuvmVUS(5/5) AAS
>>113
>無理数は、無限小数(非循環小数) との話ありがとう
>この対偶をとると
>無限小数かつ循環小数 または 有限小数 は、
>有理数 って事だ。
ご苦労様です
同意です
1)つまり、例えば ある有理係数 二次方程式の実根について
その根を小数展開できる理論が作れて
その理論で、有限小数か、循環小数か、非循環小数か
その区別が、二次方程式の 係数から判定できる
大理論ができたならば
2)その大理論を使って 方程式 x^2 -2=0 の根について
非循環小数で表されることが言えて、
『√2は無理数』を直接証明できる
なお、老婆心ながら
小数展開よりも、連分数展開の方が表現力が高いので
連分数展開を経由して、非循環小数は 簡単に言える
連分数展開も、二次方程式までは威力があるが
三次方程式以上は、きれいな式展開ができないらしい
そこは課題だとなにかに書いてあった
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