面白い高校数学の問題貼ってくスレ (10ﾚｽ)
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2(1): 2024/10/06(日)16:44 ID:gdDvLWjZ(2/4) AAS
4次関数f(x)=x⁴+ax³+bx²+cx+d(a,b,c,dは実数)について以下の問いに答えよ。
[1]
y=f(x)に2点で接する接線が存在する条件を考える。
(1)この条件はc,dによらないことを示せ。
(2)この条件を求めよ。
[2]
[1]の条件を満たし、かつ2接点のx座標がともに0以上であるときを考える。
2接点のx座標の和をt、積をsとして以下の問いに答えよ。
(1)t,sの存在範囲をts平面に図示せよ。(s≧0,s<t²/4になりました。)
(2)a+bの最小値を求めよ。
6: 2024/10/07(月)17:09 ID:V4vydAMm(1) AAS
>>2
(1) y = x⁴+ax³+bx²+cx+d と y = px + q が異なる２点で接する
⇔ y = x⁴+ax³+bx² と y = (p-c)x + q-d が異なる２点で接する
より明らか
(2) 条件は
(※) y'' = 0 が異なる２つの実数解をもつ
である。
(※) が成立しないとき y' は狭義単調増加だからことなる y=f(x) のことなる２点での接線は傾きが異なるので一致することはない。
(※) が成立するとき y'' = 1/12 (x-u)² - 4v (v>0) とおける。ここで g(x) = (x-u)⁴ - 2v(x-u)² +v² とすれば g(x) = ((x-u)²-v)² だから g(x) = 0 は x = u±√v において重解をもつから y=g(x) と y=0 はことなる2つの点で接する。一方で f''(x) = g''(x) だから f(x) と g(x) は定数項と一次の項以外一致するので(1)より y=f(x) も異なる２点で接する接線をもつ。
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