[過去ﾛｸﾞ] 数学の本 第98巻 (1002ﾚｽ)
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476: 2024/06/22(土)15:12 ID:31IeRiT6(4/6) AAS
>>466

e ∈ E に対して、 S_e := {y ∈ Y : y < e} と定義する。
S_e は高々可算な集合である。
S := ∪_{e ∈ E} S_e は高々可算な集合の高々可算個の和集合であるから高々可算な集合である。
Y は非可算集合であるから、 Y - S は非可算集合である。
t := min(Y - S) とする。
t < e を満たす e ∈ E は存在しない。
なぜなら、存在すると仮定すると、 t ∈ S_e ∈ S となるが、 t は Y - S の最小元であったからこれはあり得ない。
よって、すべての e ∈ E に対して、 e ≦ t が成り立つ。
よって、 E は上に有界である。
E が Y の中に最小上界を持つことは Y が整列集合であるから明らかである。

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