不等式への招待 第11章 (203ﾚｽ)
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76(1): 2024/03/21(木)02:38 ID:X8MM5heP(1/4) AAS
〔問題97〕
正の実数 a,b,c>0 が a+b+c+√(abc) = 4 を満たすとする。
このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
　 √(bc/a) + √(ca/b) + √(ab/c) ≧ a + b + c，

中国 Team Selection Test-2007, 2日目, 問1
Inequalitybot [97]
外部ﾘﾝｸ:twitter,com/Inequalitybot/status/1770299374251434063

x = √(bc/a),　y = √(ca/b),　z = √(ab/c)　とおくと、
　a+b+c = yz+zx+xy,
　4 = a+b+c + √(abc) = yz+zx+xy + xyz,

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77(1): 2024/03/21(木)02:48 ID:X8MM5heP(2/4) AAS
〔問題3〕
正の実数 a,b,c>0 が 1/a+1/b+1/c = a+b+c を満たすとする。
このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
　 1/(2a+b+c)^2 + 1/(2b+c+a)^2 + 1/(2c+a+b)^2 ≦ 3/16,

IMO Short List-2009 予選 A-2
Inequalitybot [3]
外部ﾘﾝｸ:twitter,com/Inequalitybot/status/1770238976504533266

AM-GM より、
　(2a+b+c)^2 ≧ 4(a+b)(a+c),　etc.

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78(1): 2024/03/21(木)03:01 ID:X8MM5heP(3/4) AAS
AA省

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79: 2024/03/21(木)21:12 ID:X8MM5heP(4/4) AAS
>>66
[5]
第１証明：
　(左辺)−1 = {(xy+yz+zx-3)^2 + 2(xyz−1)[2xyz−(x+1)(y+1)(z+1)+6]}/{(x-1)(y-1)(z-1)}^2
　　≧0,　　　　　(←　xyz=1)
　
第２証明：
　a = x/(x-1),　b = y/(y-1),　c = z/(z-1),
を代入すると、xyz=1 という条件は abc = (a-1)(b-1)(c-1) に同値になる。
この式から
　(左辺) = aa + bb + cc
　　= (a+b+c−1)^2 + 1 + 2{(a-1)(b-1)(c-1)−abc}
　　= (a+b+c−1)^2 + 1
　　≧ 1.

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