不等式への招待 第11章 (203ﾚｽ)
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120(1): 2024/07/16(火)18:50 ID:Kz+nQaM9(1/3) AAS
〔問題542〕
3.14 < π < 3.142　を示せ。

円周率について語り合おう【π】 − 542

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121(1): 2024/07/16(火)19:01 ID:Kz+nQaM9(2/3) AAS
(略解)
π^2 = Σ[k=1,∞] 6/kk　より

π^2 > Σ[k=1,10] 6/kk + Σ[k=11,∞] 6/((k-1/3)(k+2/3))
　= 1968329/(5･27･32･49) + Σ[k=11,∞] {6/(k-1/3)−6/(k+2/3)}
　> 9.2975 + 9/16
　= 10−7/50
　= 9.86
∴　π > 3.14

π^2 < Σ[k=1,10] 6/kk + Σ[k=11,∞] 6/((k-1/2)(k+1/2))
　= 1968329/(5･27･32･49) + Σ[k=11,∞] {6/(k-1/2)−6/(k+1/2)}
　< 9.30 + 4/7
　= 10−9/70
∴　π < 3.142

円周率について語り合おう【π】 − 542

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122(1): 2024/07/16(火)21:36 ID:Kz+nQaM9(3/3) AAS
〔問題〕
　Σ[k=1,∞] 1/k^3 > 1 + 20/99.
を示せ。

(略解)
　k≧7 のとき　k^3 < (k-0.95238)(k+0.04762)(k+1.04762),
Σ[k=1,∞] 1/k^3
　> Σ[k=1,6] 1/k^3 + Σ[k=7,∞] 1/[(k-0.95238)(k+0.04762)(k+1.04762)]
　= 1 + 4567/24000 + 0.0117312
　= 1.2020228…
　> 1 + 20/99.

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