不等式への招待 第11章 (203ﾚｽ)
不等式への招待 第11章 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1684818116/
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81: １３２人目の素数さん [] 2024/03/24(日) 02:17:22.98 ID:JQZhW1Hp 〔問題189〕 a, b, c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを証明せよ： {(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3, だるまにおん：作 Casphy!−高校数学板−不等式スレ１−339 2chの過去スレ (第３章)−727, 737, 739 Inequalitybot [189] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1771144946873217064 [補題] a+b+c=s, ab+bc+ca=t とおくと |(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ (2/√3)(ss-3t)t/s, 等号成立は {a, b, c} = {0, √3 -1, √3 +1} のとき。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1684818116/81
82: １３２人目の素数さん [] 2024/03/24(日) 17:35:28.25 ID:JQZhW1Hp (a-b)(b-c)(c-a) = ? を 差積 とよぶ。 |?| ≦ 2/(3√3)･(ss-3t)^{3/2}, (略証) ?^2 = (4/27)(ss-3t)^3 − (1/27){(2a-b-c)((2b-c-a)(2c-a-b)}^2 ≦ (4/27)(ss-3t)^3. 〔問題3.98〕 任意の実数a,b,cに対して |?| ≦ 9/(16√2)･(ss-2t)^2 /s IMO-2006 Inequalitybot [7] 佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013) p.142 問題3.98 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1684818116/82
83: １３２人目の素数さん [] 2024/03/24(日) 17:36:23.79 ID:JQZhW1Hp 〔問題1.96〕 a,b,c を非負実数とする。このとき、 |(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ (a^3+b^3+c^3−3abc)/4 (略証) b は a, c の中間にあるとする。 a^3+b^3+c^3 − 3abc = (a+b+c)(aa+bb+cc-ab-bc-ca), と因数分解する。 a+b+c ≧ |a-b| + |b-c| + min{|a-b|, |b-c|} aa + bb + cc - ab - bc - ca = (a-b)^2 + (a-b)(b-c) + (b-c)^2, 辺々掛けて a^3+b^3+c^3−3abc ≧ (|a-b|+|b-c|)^3 = (|a-b|+|b-c|)^2･|c-a| ≧ 4|a-b||b-c||c-a| = 4|?|, ルーマニアMO-2007 佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013) p.43 演習問題1.96 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1684818116/83
84: １３２人目の素数さん [] 2024/03/24(日) 17:37:47.38 ID:JQZhW1Hp 〔楠瀬の不等式〕 a,b,c ≧0 とする。このとき、 |(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ (a^3+b^3+c^3−3abc) / Ku, ここで Ku = √(9+6√3) = 4.403669475 (楠瀬の定数) 数学セミナー, Vol.31, No.4&7 日本評論社 (1992年4月号&7月号) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1684818116/84
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