[過去ﾛｸﾞ] 数学の本 第96巻 (1002ﾚｽ)
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917: 2023/01/30(月)10:33 ID:0EowpgN/(1/3) AAS
M⊂∩M_pは明らか。
x∈∩M_pとする。AのイデアルI_xを

I_x := { a∈A | ax∈M }

と定める。I_xがA全体であることを示す。
Aの極大イデアルpを任意に取る。x∈M_pなので、あるm∈Mと、あるa∉pが存在して、

x = a^(-1) m

と書ける。ax = m∈Mなので、a∈I_x。a∉pなので、I_x¬⊂p。
よって、I_xはどの極大イデアルにも含まれないので、A全体。

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928: 2023/01/30(月)13:20 ID:0EowpgN/(2/3) AAS
Noether局所環であるから次元が0であることを示せばよい
k[x, y]_m(p)/(f, g)_m(p)の素イデアルは、k[x, y]_m(p)の素イデアルで、(f, g)_m(p)を含むもの。これが極大イデアルであることを示せばよい
Hilbertの零点定理より

√(f, g)_m(p) = √m(p) = m(p)
√(f, g)_m(p) = ∩(f, g)_m(p)を含む素イデアル

なので、(f, g)_m(p)を含む素イデアルはm(p)を含むので極大イデアル

か

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929: 2023/01/30(月)13:49 ID:0EowpgN/(3/3) AAS
>>922
> > y≠0∈Aならばy = u π^n (u∈Aは可逆)と書ける。
> なぜ？

Krullの交叉定理より、

∩m^n = (0)

なので、y≠0ならば

y∈m^n だが y∉m^(m+1)

となるn≧0が存在する。

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