巨大数を語り合うスレ (244ﾚｽ)
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142: 2024/01/25(木)17:09 ID:9e1uuOOK(1/6) AAS
クヌースの拡張ハイパー演算子というものを考えてみた
a,b は非負整数
n,m は自然数
まずは、クヌースの矢印を括弧に置き換える
a[]b = a↑b = a^b
a[][]b = a[]a[]a[]a...{b個}...a[]a = a↑↑b = a↑a↑a↑a...{b個}...a↑a
a[][][]b = a[][]a[][]a[][]a...{b個}...a[][]a = a↑↑↑b = a↑↑a↑↑a↑↑a...{b個}...a↑↑a
a[][][][]b = a[][][]a[][][]a[][][]a...{b個}...a[][][]a = a↑↑↑↑b = a↑↑↑a↑↑↑a↑↑↑a...{b個}...a↑↑↑a
a[][][]...{n個}...[]b = a↑↑↑...{n個}...↑b
これを一般化すると
a[][][]...{n個}...[]0 = 1
a[](b+1) = a^(a[]b)
a[][][]...{n+1個}...[](b+1) = a[][][]...{n個}...[](a[][][]...{n+1個}...[]b)
143: 2024/01/25(木)17:10 ID:9e1uuOOK(2/6) AAS
次にクヌースの矢印を拡張する
a[[]]0 = 1
a[[]](b+1) = a[][][]...{a[[]]b個}...[]a
これで a[[]]a は F[ω](a) くらいの大きさになる
次にωの継続順序数の大きさになるように定義する
a[[]][][][]...{n個}...[]0 = 1
a[[]][](b+1) = a[[]](a[[]][]b)
a[[]][][][]...{n+1個}...[](b+1) = a[[]][][][]...{n個}...[](a[[]][][][]...{n+1個}...[]b)
これで a[[]][]a は F[ω+1](a)、a[[]][][]a は F[ω+2](a)、a[[]][][][]a は F[ω+3](a) ... という大きさになる
次にω×2の大きさになるように定義する
a[[]][][[]]0 = 1
a[[]][][[]](b+1) = a[[]][][][]...{a[[]][][[]]b個}...[]a
これで a[[]][][[]]a は F[ω+ω](a) = F[ω×2](a) くらいの大きさになる
144: 2024/01/25(木)17:11 ID:9e1uuOOK(3/6) AAS
次にω×2の継続順序数の大きさになるように定義する
a[[]][][[]][][][]...{n個}...[]0 = 1
a[[]][][[]][](b+1) = a[[]][][[]](a[[]][][[]][]b)
a[[]][][[]][][][]...{n+1個}...[](b+1) = a[[]][][[]][][][]...{n個}...[](a[[]][][[]][][][]...{n+1個}...[]b)
これで a[[]][][[]][]a は F[ω×2+1](a)、a[[]][][[]][][]a は F[ω×2+2](a)、a[[]][][[]][][][]a は F[ω×2+3](a) ... という大きさになる
次にω×3の大きさになるように定義する
a[[]][][[]][][[]]0 = 1
a[[]][][[]][][[]](b+1) = a[[]][][[]][][][]...{a[[]][][[]][][[]]b個}...[]a
これで a[[]][][[]][][[]]a は F[ω+ω+ω](a) = F[ω×3](a) くらいの大きさになる
ここまで定義すると演算子の形と順序数の大きさに相関が見えてくる
a[[]][][[]][][[]][][[]]a だと F[ω+ω+ω+ω](a) = F[ω×4](a)
a[[]][][[]][][[]][][[]][][[]]a だと F[ω+ω+ω+ω+ω](a) = F[ω×5](a)
a[[]][][[]][][[]][][[]][][[]][][[]]a だと F[ω+ω+ω+ω+ω+ω](a) = F[ω×6](a)
......
急増化関数の順序数の演算+が [[]][][[]] の [] に相当している
145: 2024/01/25(木)17:12 ID:9e1uuOOK(4/6) AAS
これを踏まえてω^2の大きさになるような次の定義ができる
a[[]][][][[]]0 = 1
a[[]][][][[]](b+1) = a[[]][][[]][][[]][][[]]...{a[[]][][][[]]b個}...[[]][][[]]a
ω^2はω×ωなので [[]][][][[]] の [][] が順序数の演算×に対応している
これを踏まえてクヌースの拡張ハイパー演算子と順序数の対応を以下に示す
[[]][][][[]][] = ω^2+1
[[]][][][[]][][[]] = ω^2+ω
[[]][][][[]][][[]][][[]] = ω^2+ω×2
[[]][][][[]][][[]][][][[]] = ω^2+ω^2 = ω^2×2
[[]][][][[]][][[]][][][[]][][[]][][][[]] = ω^2+ω^2+ω^2 = ω^2×3
[[]][][][[]] をω個 [] で連結したものを [[]][][][[]][][][[]] と表現する
[[]][][][[]][][][[]] = ω^3
[[]][][][[]][][][[]] をω個 [] で連結したものを [[]][][][[]][][][[]][][][[]] と表現する
[[]][][][[]][][][[]][][][[]] = ω^4
[[]][][][[]][][][[]][][][[]] をω個 [] で連結したものを [[]][][][[]][][][[]][][][[]][][][[]] と表現する
[[]][][][[]][][][[]][][][[]][][][[]] = ω^5
[[]] をω個 [][]で連結したものを [[]][][][][[]] と表現する
[[]][][][][[]] = ω^ω
146: 2024/01/25(木)17:13 ID:9e1uuOOK(5/6) AAS
同様の拡張を行なっていけば
[[]][][][][[]][] = ω^ω+1
[[]][][][][[]][][[]] = ω^ω+ω
[[]][][][][[]][][[]][][[]] = ω^ω+ω×2
[[]][][][][[]][][[]][][][[]] = ω^ω+ω^2
[[]][][][][[]][][[]][][][][[]] = ω^ω×2
[[]][][][][[]][][][[]] = ω^(ω+1)
[[]][][][][[]][][][[]][][][[]] = ω^(ω+2)
[[]][][][][[]][][][[]][][][][[]] = ω^(ω×2)
[[]][][][][[]][][][][[]] = ω^ω^2
[[]][][][][[]][][][][[]][][][][[]] = ω^ω^3
[[]][][][][][[]] = ω^ω^ω
[[]][][][][][][[]] = ω^ω^ω^ω
[[]][][][][][][][[]] = ω^ω^ω^ω^ω
このように表現できる
そして [[]] と [[]] の間をω個の [] で敷き詰めるものを [[]][[]] と表現する
[[]][[]] = ε_0
同様の拡張を行なっていけば
[[]][[]][] = ε_0+1
[[]][[]][][[]] = ε_0+ω
[[]][[]][][[]][][[]] = ε_0+ω×2
[[]][[]][][[]][][][[]] = ε_0+ω^2
[[]][[]][][[]][][][][[]] = ε_0+ω^ω
[[]][[]][][[]][][][][][[]] = ε_0+ω^ω^ω
[[]][[]][][[]][][][][][][[]] = ε_0+ω^ω^ω^ω
[[]][[]][][[]][[]] = ε_0×2
[[]][[]][][][[]] = ε_0×ω
[[]][[]][][][[]][[]] = ε_0^2
[[]][[]][][][][[]] = ε_0^ω
[[]][[]][][][][[]][[]] = ε_0^ε_0
[[]][[]][][][][][[]] = ε_0^ε_0^ω
省4
147: 2024/01/25(木)17:14 ID:9e1uuOOK(6/6) AAS
そして [[]][[]] と [[]][[]] の間をω個の [] で敷き詰めるものを [[]][[]][[]] と表現する
[[]][[]][[]] = ε_1
パターンから次にように表現できることがわかる
[[]][[]][[]][[]] = ε_2
[[]][[]][[]][[]][[]] = ε_3
[[]][[]][[]][[]][[]][[]] = ε_4
[[]] をω個並べたものを [[][]] と表現する
[[][]] = ε_ω
そして次のように拡張できる
[[][]][[]] = ε_(ω+1)
[[][]][[]][[]] = ε_(ω+2)
[[][]][[]][[][]] = ε_(ω×2)
[[][]][[]][[]][[][]] = ε_(ω^2)
[[][]][[]][[]][[]][[][]] = ε_(ω^ω)
[[][]][[]][[]][[]][[]][[][]] = ε_(ω^ω^ω)
[[][]][[]][[]][[]][[]][[]][[][]] = ε_(ω^ω^ω^ω)
[[][]][[][]] = ε_ε_0
[[][]][[][]][[][]] = ε_ε_1
[[][]][[][]][[][]][[][]] = ε_ε_2
[[][][]] = ε_ε_ω
[[][][][]] = ε_ε_ε_ω
[[][][][][]] = ε_ε_ε_ε_ω
[] の中に [] をω個並べたものを [[[]]] と表現する
[[[]]] = ζ_0
そして
[[[[]]]] = φ(ω,0)
[[[[[]]]]] = φ(ζ_0,0)
[[[[[[]]]]]] = φ(φ(ω,0),0)
[[[[[[[]]]]]]] = φ(φ(ζ_0,0),0)
[[[[[[[[]]]]]]]] = φ(φ(φ(ω,0),0),0)
[[[[[[[[[]]]]]]]]] = φ(φ(φ(ζ_0,0),0),0)
省1
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