分からない問題はここに書いてね 470

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899: 891 [sage] 2021/10/28(木) 22:04:14 ID:kIypNTQ7

>>874 の件

・x/(e^x-1)　= { x + x^2/2! + x^3/3! +... -(...) }/(e^x-1)
= 1- x^2*{1/2!+x/3!+...}/(e^x-1)

・∫[ε,2ε] log(x)/(1+e^x) dx
= ∫[ε,2ε] log(x)/x * x/(1+e^x) dx
= ∫[ε,2ε] log(x)/x dx - ∫[ε,2ε] log(x)*x*(1/2!+x/3!+...)/(e^x-1)
= [(1/2)log(x)^2][ε,2ε] + o(1)
= (1/2)*{(log(2)+log(ε))^2 - log(ε)^2 } + o(1)
= (1/2)log(2)^2 + log(2)log(ε)  + o(1)

・∫[2ε,∞] 1/(e^x-1) dx
= ∫[2ε,∞] (1-e^{-x})'/(1-e^{-x}) dx
= [ log(1-e^{-x}) ][2ε,∞]
= -log(1-e^{-2ε}) = -log(1+e^{-ε}) -log(1-e^{-ε})
= -log(2-1+e^{-2ε}) - log(ε) - log(1 -ε/2! +ε^2/3! -...)
= -log(2) - log(ε) + o(1)

・1/(e^x+1) = 1/(e^x-1) - 2/(e^{2x}-1)

以上をまとめて
∫[ε,∞]log(x)/(1+e^x)dx
= ∫[ε,∞]log(x)/(e^x-1) dx  -2∫[ε,∞]log(x)/(e^{2x}-1) dx
= ∫[ε,∞]log(x)/(e^x-1) dx  -∫[2ε,∞]log(x/2)/(e^x-1) dx
= ∫[ε,2ε]log(x)/(e^x-1) dx + log(2)∫[2ε,∞] 1/(e^x-1) dx
= (1/2)log(2)^2 + log(2)log(ε) +log(2)*(-log(2) - log(ε))  + o(1)
= -(1/2)log(2)^2  + o(1)

参考
https://math.stackexchange.com/questions/2585960/evaluate-int-0-infty-frac-log-x1ex-dx
少し補足しただけでほぼそのまま頂いた.
他の解き方もいくつか載ってる

https://www.searchonmath.com
latex数式で検索できるサイトが役に立った

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630008892/899

936: １３２人目の素数さん [sage] 2021/10/29(金) 20:21:47 ID:q0fQaYEM

Γ(s) ζ(s) = Σ[n=1,∞] ( 1/n^s ) ∫ [0,∞] x^{s-1} e^{-x} dx
= Σ[n=1,∞] ∫ [0,∞] x^{s-1} e^{-nx} dx
= ∫ [0,∞] x^{s-1} / (e^x - 1) dx
= ∫ [0,∞] x^{s-1}  ( 1/ (e^x - 1)  - 1/(x.e^x) dx   + ∫ [0,∞] x^{s-1} /(x.e^x)  dx
= γ + Γ(s-1)   +  o(1)
∴　ζ(s) =  1/(s-1)  + γ   +  o(1),   ζ’(s) =  -1/(s-1)^2  + O(1)　 　(around s=1)
γ = ∫ [0,∞]  ( 1/ (e^x - 1)  - 1/(x.e^x) dx  を使った  (積分表示の初等的証明は省略)

Dirichlet η function
η(s) := Σ[n=1,∞] (-1)^{n-1}/n^{s} =  ( 1 - 2^{1-s} ) ζ(s)
η’(s) = log2 * 2^{1-s} ζ(s)  +  ( 1 - 2^{1-s} ) ζ’(s)
=  log2 { 1 + log2*(1-s) + o(s-1) }{ 1/(s-1)  + γ   +  o(1) }
- {  log2*(1-s) + (log2*(1-s))^2 /2 +  o((s-1)^2)  } { -1/(s-1)^2 + O(1) }
= log2 * γ   - (log2)^2 /2  + o(1)      (around s=1)

∴  η’(1) =  Σ[n=1,∞] (-1)^{n} log(n)/n =  log2 * γ   - (log2)^2 /2

https://math.stackexchange.com/questions/2585960/evaluate-int-0-infty-frac-log-x1ex-dx
2件目の人はその導出に謎の積分計算を挟んでコメ欄でツッコまれてますね、これどーすんのさと
3件目はシレっと  η’(1)  の結果使ってますが... 界隈では常識なんでしょうかね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1630008892/936

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