[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
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905: 2021/10/29(金)01:15 ID:q0fQaYEM(1/5) AAS
>>898
x^2-4x+1 = 0 の2解を α=2+√3, β=2-√3 と置くと
数列: a[n]=α^n + β^n は
初期値: a[0]=2, a[1]=4　の漸化式: a[k+1]= 4a[k]-a[k-1]　を満たす.
a[0] = 2
a[1] = 4
a[2] = 4*4 - 2 ≡ 4 (mod 10)
a[3] ≡ 4*4 - 4 ≡ 2
a[4] ≡ 4*2 - 4 ≡ 4
a[5] ≡ 4*4 - 2 ≡ 4 {周期パターンが現れた}
一般に
a[3k] ≡ 2 (mod 10)
a[3k+1] ≡ 4
a[3k+2] ≡ 4
と表せる事が分かる

2021 ≡ 2+0+2+1 ≡ 2 (mod 3) より
a[2021] = α^2021 + β^2021 ≡ 4 (mod 10)
0 < β^2021 < 1 より
α^2021 ≡ 3 (mod 10)　である

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906: 2021/10/29(金)01:41 ID:q0fQaYEM(2/5) AAS
floor( α^2021 ) ≡ 3 (mod 10)　 に訂正

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909(1): 2021/10/29(金)03:23 ID:q0fQaYEM(3/5) AAS
>>907
q := (1+a)t/(t+a) と置けば
1-q = a(1-t)/(t+a)
dq = a(1+a)/(t+a)^2 dt, t:[0,1] → q:[0,1]

∫[0,1] t^{x-1} (1-t)^{y-1} / (t+a)^{x+y} dt
= ∫[0,1] {t/(t+a)}^{x-1} {(1-t)/(t+a)}^{y-1} (t+a)^{-2} dt
= (1+a)^{1-x} * a^{1-y} ∫[0,1] q^{x-1} (1-q)^{y-1} dq / (a(1+a))
= B(x,y) /((1+a)^x * a^y)
= Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y) * 1/((1+a)^x * a^y)

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927: 2021/10/29(金)12:32 ID:q0fQaYEM(4/5) AAS
答えの値だけ見て 「正解です！」 を言われても
クイズをしたかっただけなんか？ ってなるよね

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936: 2021/10/29(金)20:21 ID:q0fQaYEM(5/5) AAS
Γ(s) ζ(s) = Σ[n=1,∞] ( 1/n^s ) ∫ [0,∞] x^{s-1} e^{-x} dx
= Σ[n=1,∞] ∫ [0,∞] x^{s-1} e^{-nx} dx
= ∫ [0,∞] x^{s-1} / (e^x - 1) dx
= ∫ [0,∞] x^{s-1} ( 1/ (e^x - 1) - 1/(x.e^x) dx + ∫ [0,∞] x^{s-1} /(x.e^x) dx
= γ + Γ(s-1) + o(1)
∴　ζ(s) = 1/(s-1) + γ + o(1), ζ’(s) = -1/(s-1)^2 + O(1)　 　(around s=1)
γ = ∫ [0,∞] ( 1/ (e^x - 1) - 1/(x.e^x) dx を使った (積分表示の初等的証明は省略)

Dirichlet η function
η(s) := Σ[n=1,∞] (-1)^{n-1}/n^{s} = ( 1 - 2^{1-s} ) ζ(s)
η’(s) = log2 * 2^{1-s} ζ(s) + ( 1 - 2^{1-s} ) ζ’(s)
= log2 { 1 + log2*(1-s) + o(s-1) }{ 1/(s-1) + γ + o(1) }
- { log2*(1-s) + (log2*(1-s))^2 /2 + o((s-1)^2) } { -1/(s-1)^2 + O(1) }
= log2 * γ - (log2)^2 /2 + o(1) (around s=1)

∴ η’(1) = Σ[n=1,∞] (-1)^{n} log(n)/n = log2 * γ - (log2)^2 /2

外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
2件目の人はその導出に謎の積分計算を挟んでコメ欄でツッコまれてますね、これどーすんのさと
3件目はシレっと η’(1) の結果使ってますが... 界隈では常識なんでしょうかね

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