[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね 470 (1002ﾚｽ)
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891(1): 2021/10/28(木)13:57 ID:kIypNTQ7(1/2) AAS
元の質問者ではないのだけど
>>874 が気になってるので誰かお願いします

>>876 >>877
[ステップごとの解説] ボタン(※)が出てこないので
Pro版契約しても計算過程の表示は無いんじゃないかと思います

※ ∫_0^∞ 1/(1+e^x) dx ←例えばこんなのだとボタンが出ます
解説の一部しか見せてくれませんが困ってる時には良いヒントになります

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899(3): 891 2021/10/28(木)22:04 ID:kIypNTQ7(2/2) AAS
>>874 の件

・x/(e^x-1)　= { x + x^2/2! + x^3/3! +... -(...) }/(e^x-1)
= 1- x^2*{1/2!+x/3!+...}/(e^x-1)

・∫[ε,2ε] log(x)/(1+e^x) dx
= ∫[ε,2ε] log(x)/x * x/(1+e^x) dx
= ∫[ε,2ε] log(x)/x dx - ∫[ε,2ε] log(x)*x*(1/2!+x/3!+...)/(e^x-1)
= [(1/2)log(x)^2][ε,2ε] + o(1)
= (1/2)*{(log(2)+log(ε))^2 - log(ε)^2 } + o(1)
= (1/2)log(2)^2 + log(2)log(ε) + o(1)

・∫[2ε,∞] 1/(e^x-1) dx
= ∫[2ε,∞] (1-e^{-x})'/(1-e^{-x}) dx
= [ log(1-e^{-x}) ][2ε,∞]
= -log(1-e^{-2ε}) = -log(1+e^{-ε}) -log(1-e^{-ε})
= -log(2-1+e^{-2ε}) - log(ε) - log(1 -ε/2! +ε^2/3! -...)
= -log(2) - log(ε) + o(1)

・1/(e^x+1) = 1/(e^x-1) - 2/(e^{2x}-1)

以上をまとめて
∫[ε,∞]log(x)/(1+e^x)dx
= ∫[ε,∞]log(x)/(e^x-1) dx -2∫[ε,∞]log(x)/(e^{2x}-1) dx
= ∫[ε,∞]log(x)/(e^x-1) dx -∫[2ε,∞]log(x/2)/(e^x-1) dx
= ∫[ε,2ε]log(x)/(e^x-1) dx + log(2)∫[2ε,∞] 1/(e^x-1) dx
= (1/2)log(2)^2 + log(2)log(ε) +log(2)*(-log(2) - log(ε)) + o(1)
= -(1/2)log(2)^2 + o(1)

参考
外部ﾘﾝｸ:math.stackexchange.com
少し補足しただけでほぼそのまま頂いた.
他の解き方もいくつか載ってる

外部ﾘﾝｸ:www.searchonmath.com
latex数式で検索できるサイトが役に立った

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