代数学演習

代数学演習 (154ﾚｽ)
上下前次 1-新

1: 2021/03/09(火)20:31 ID:2q52fjs2(1) AAS
線形代数
群
環と加群
体Galois理論
可換代数
群の表現

などの演習問題を解くスレ

28: 2021/09/09(木)09:18 ID:AVLUQ2bw(2/4) AAS
p は 3 以上の素数とする． SL(2, F_p) で有限体 F_p の元を成分とし行列式が 1である 2×2-行列全体がなす群を表す．
このとき，A^(p−1) = 1 となるSL(2, F_p)
の元 A の個数を求めよ．ここで，1 は単位行列である．

（2022 京大）

29: 2021/09/09(木)09:35 ID:AVLUQ2bw(3/4) AAS
行列をたくさん書かなきゃいけないので、略して書きます。

まず、Aの標準形を求めます。n乗して単位行列になることから、Aは対角化可能です。det(A) = 1なので、Aの標準形は

diag(λ, 1/λ) （λ∈F_p, λ≠ 0）

の形です。
SL(2, F_p)は各標準形の共役類の合併になるので、GL(2, F_p)による作用

GL(2, F_p)×SL(2, F_P)∋(P, A) → P^(-1)AP

を考えます。元Aと共役な元の個数は

|GL(2, F_p)|/|{P∈GL(2, F_p) ; P^(-1)AP = A}|

です。GL(2, F_p)の元は、1列目は0ベクトル以外 * 2列目は1列目のスカラー倍以外なので、

|GL(2, F_p)| = (p^2 - 1)(p^2 - p)

です。Aとしてはdiag(λ, 1/λ)のみ考えればいいです。具体的に成分計算すれば

λ = ±1のとき、Aを固定するのはGL(2, F_p)全部
それ以外のときは、対角行列か右上左下の行列のときだけ

です。λ = ±1以外の元はp - 3個あり、GL(2, F_p)の対角行列は(p - 1)^2個あるので、答えは

1 + 1 + (p - 3)(p^2 - 1)(p^2 - p)/2(p - 1)^2
= 2 + (p - 3)p(p + 1)/2

です。

30: 2021/09/09(木)09:43 ID:AVLUQ2bw(4/4) AAS
p を素数，n を非負整数とする．このとき，位数 3p^n の有限群は可解群であ
ることを示せ．p 群が可解群であるという事実は用いてもよい．

（2020 京大）

31: 2021/09/09(木)12:23 ID:9ztxd/mI(1/4) AAS
Gを位数3p^nの群とする。

p = 3のとき、位数3p^nの群はp群なので、可解群である。

p ≠ 3のとき、Sylowの定理より位数p^nの部分群Hが存在する。これは可解群である。
もし、HがGの正規部分群であれば、G/Hは位数3なので巡回群であるから、Hが可解群であることと合わせて、Gは可解群になる。

HがGの正規部分群であることを示す。
Sylowの定理より、GのSylow p-部分群の個数nは

(1) n = 1 or 3
(2) n ≡ 1 (mod p)
(3) n = |G : N_G(H)| （N_G(H)はHの正規化群）

を満たす。|G : H| = 3は素数で、G⊃N_G(H)⊃Hなので、N_G(H)はGかHしかない。

もしN_G(H) = Gなら、HはGの正規部分群である。

(続く)

32: 2021/09/09(木)12:35 ID:9ztxd/mI(2/4) AAS
ごめんなさい。
以下は、Hが正規部分群であることを示すのではなくて、Hが正規部分群にならない場合も、Gが可解になることを示します。

N_G(H) = Hとなったとする。n = 3であるから、(2)よりp = 2である。

Sylow 2部分群をH_1, H_2, H_3とすると、GのSylow 2部分群は互いに共役なので、Gの{H_1, H_2, H_3}への推移的な作用

(g, H_i) → g^(-1)H_ig

がある。よって3次対称群S_3への全射準同型

φ: G → S_3

が定まる。KerφはGの正規部分群で、準同型定理より

G/Kerφ 〜 S_3

Kerφの位数は、G/6 = 2^(n-1)だからKerφはp群、したがって可解である。S_3も可解なので、Gは可解である。□

33: 2021/09/09(木)12:37 ID:9ztxd/mI(3/4) AAS
最後は、

NがGの正規部分群で、NおよびG/Nが可解ならば、Gは可解である

を使いました。

34: 2021/09/09(木)12:42 ID:9ztxd/mI(4/4) AAS
φ: G → S_3が全射なのは、置換は互換で生成されるからです。

この場合、任意の2つのH_i, H_jがあるgで移りあうので、{H_1, H_2, H_3}の置換すべてがGの像になっています。

35: 2021/09/09(木)14:37 ID:3KPuEDOA(1) AAS
a, b, cを1以上の整数とする。X^a + Y^b + Z^c∈C[X, Y, Z]は既約であることを示せ。

（東大）

36: 2021/09/09(木)18:33 ID:4fOBEaoy(1/2) AAS
Y^b + Z^c の既約因子のうち重複度1のものがあれば、それをWとする。つまり、Wは既約多項式でY^b + Z^cを割り切るが、W^2はY^b + Z^cを割り切らない。
f = X^a + Y^b + Z^cが可約なら、XをX + Wで置き換えた式

f' = X^a + aX^(a-1)W + ... + W^a + Y^b + Z^c

も可約である。
ここで、C[Y, Z]はUFDでWは既約なのでC[Y, Z]の素元であり、Wはf'の最高次の項以外を割り切るが、W^2はf'の定数項を割り切らない。
したがって、Eisensteinの既約判定法より、f'はC(Y, Z)[X]で既約。よって、fもC(Y, Z)[X]で既約である。よって、Gaussの補題よりfはC[X, Y, Z]で既約である。

さて、Y^b + Z^cの因数がすべて重複度2以上のときは、どうすればいいのか……。そもそもそんな場合はあるのか。

37(2): 2021/09/09(木)18:34 ID:4fOBEaoy(2/2) AAS
まず、gcd(b, c) = d > 1のときは、

(Y^(b/d))^d + (Z^(c/d))^d

なので1の原始d乗根をζとして

(Y' - 1Z')(Y' - ζZ')...(Y' - ζ^(d-1)Z')

と因数分解される（Y' = Y^(b/d), Z' = Z^(c/d)）。Z'を適当に座標変換すれば、各因数はY' + Z'の形になるから、各因数が既約多項式のべき乗になっているかどうかは、gcd(b, c) = 1の場合に帰着される。

多分、gcd(b, c) = 1なら、Y^b + Z^cは既約だろう。それなら、既約因子が全部多重ってことはない。
y^2 + x^3とかなら係数比較すればいいけど、どうやって示すのだろう？そもそも成り立つのか。

38: 2021/09/10(金)00:54 ID:j6Ljpwn9(1/10) AAS
pは素数とする。Rは単位元をもつ環で元の個数がp^2であるとする。

(1) Rは可換であることを示せ
(2) Rはどのような環になるか。同型類を全て記述せよ。

（京大）

39: 2021/09/10(金)00:56 ID:j6Ljpwn9(2/10) AAS
(1)
1 + ... + 1 (p^2回) = 0であるから、1の加法群としての位数はpまたはp^2である。

1の位数がp^2ならば、Rは加法群としてZ/p^2Zに同型である。この時、Rのすべての元が1 + 1 + ... + 1の形になることから、Rの乗法も、Zから誘導されたものになる。したがってRは可換である。

1の位数がpの場合を考える。
Rの加法群としての構造は、Z/pZ×Z/pZである。したがって、Rのすべての元は、ある2元aとbの整数係数の線形結合で表される。

1 = na + mb　（n, m∈{0, 1, ..., p - 1}）

とすると、0, 1, ..., p - 1はすべての元と可換なので、a, bを1の左右からかけたものを比較すると、

a = na^2 + mba = na^2 + mab
b = nab + mb^2 = nba + mb^2

∴ m(ab - ba) = 0, n(ab - ba) = 0

n, mの両方が0だと1 = 0となってしまうので、ab - ba = 0。Rはa, bで生成されるから可換である。□

(2)
1の位数がp^2のとき:
上で述べた通り、環としてもZ/p^2Zと同型である。

1の位数がpのとき:
RはF_pを部分環として含むとしていい。
F_pに含まれない元X∈Rを取る。Rの元の個数はp^2だから、F_p加群としてF_pX⊕F_p1に同型。よって、

X^2 + aX + b = 0（a, b∈F_p）

が成り立つ。したがって、Rは剰余環

F_p[X]/(X^2 + aX + b)

に同型である。
f = X^2 + aX + bとおく。Rの同型類は

・fが1次式のF_pに重根を持つとき、F_p[X]/(X^2)に同型
・fが異なる1次式の積に分解されるとき、F_p[X]/(X(X + 1))に同型
・fが既約のとき、F_p[X]/(X^2 + X + 1)に同型。

40: 2021/09/10(金)01:01 ID:j6Ljpwn9(3/10) AAS
訂正:
> ・fが1次式のF_pに重根を持つとき、
・fがF_pに重根を持つとき、

41: 2021/09/10(金)01:04 ID:j6Ljpwn9(4/10) AAS
有理数のなす加法群ℚと、有理数体の乗法群ℚ*は、Abel群として同型でないことを示せ。

42: 2021/09/10(金)01:06 ID:j6Ljpwn9(5/10) AAS
q∈ℚを0でない任意の元とすると必ず2p = qとなるp∈ℚが存在する。
一方、ℚ*の元には平方根が存在するとは限らない。たとえば2。

43: 2021/09/10(金)01:41 ID:j6Ljpwn9(6/10) AAS
K⊂ℂを部分体、pを素数とする。ℂに含まれる任意の有限次拡大L/Kに対し、

「L = Kでなければ、[L : K]はpで割り切れる」

と仮定する。このとき、ℂに含まれる任意の有限次拡大L/Kに対し、[L : K]はpのべき（1を含む）であることを証明せよ。

（京大）

45: 2021/09/10(金)02:51 ID:j6Ljpwn9(8/10) AAS
体K = ℚ(√N, √(1 + i))がℚ上のGalois拡大となるような最小の正の整数Nと、そのときのGalois群Gal(K/ℚ)を求めよ。

（京大）

46(1): 2021/09/10(金)08:55 ID:j6Ljpwn9(9/10) AAS
√(i + 1)のℚ上の共役は

√(i + 1), -√(i + 1), √(-i + 1), -√(-i + 1)。

√(i + 1)√(-i + 1) = √2なので、√2が含まれれば、Kに√(i + 1)の共役がすべて含まれる。
N = 1のときはGalois拡大にならないので、N = 2が最小。

M = ℚ(√2, i)とおく。
KはMの2次拡大で、Mはℚの4次拡大だから、#Gal(K/ℚ) = 8。

σ∈Gal(M/ℚ)を、σ(i) = -iで定まるものとすると、

σ(√(i + 1)^2) = - i + 1

だから、Gal(K/ℚ)の元としては

σ(√(i + 1)) = √(-i + 1)
σ(√(-i + 1)) = √(i + 1)

で、位数は2。
τ∈Gal(M/ℚ)を、τ(√2) = -√2で定まるものとすると、

τ(√(i + 1)√(-i + 1)) = -√2

だから、これをKに延長したものは

τ'(√(i + 1)) = -√(i + 1)
τ''(√-i + 1)) = -√(-i + 1)

で定まるものの2つがある。どちらも位数は2。
以上から、Gal(K/ℚ)は位数2の元3つで生成されるので、

Gal(K/ℚ)〜ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ。

47: 2021/09/10(金)09:22 ID:j6Ljpwn9(10/10) AAS
おかしいな
Abel拡大になるはずない

> KはMの2次拡大で、

ここが違うか

48: 2021/09/11(土)12:09 ID:dec+j2UA(1) AAS
もしAbel拡大なら、Galois群の部分群はすべて正規部分群だから、Q(√(i + 1))を固定する部分群も正規部分群になる。よって、Q(√(i + 1))/Qが正規拡大となり矛盾。

8次拡大はあってて、非Abel的だから位数8の二面体群になる。

49: 2021/09/21(火)10:01 ID:G1I0/SNs(1) AAS
断捨離してたら加藤和也の授業の演習プリントが出てきた

50(2): 2021/09/21(火)15:13 ID:l85vzMHu(1) AAS
桂利行と川又雄二郎の授業の演習プリントはまだ持ってる

51(1): 2021/09/28(火)15:28 ID:ioTVRrV6(1/4) AAS
K = ℂ(t)を変数tに関する複素数係数の1変数有理関数体とする。uを0でない複素数とし、Lを多項式f(X) = X^4 + 2utX^2 + t∈K[X]のK上の最小分解体とする。

(1) 拡大次数[L : K]を求めよ
(2) ガロア群Gal(L/K)はアーベル群であるか？理由をつけて答えよ。

（京大）

52(1): 2021/09/28(火)15:31 ID:/G1An2L8(1) AAS
なんで京大ばかりなの？

>>50
難しかった？

53: 2021/09/28(火)15:39 ID:ioTVRrV6(2/4) AAS
(1) f(X) = 0を解くと、

X = ±√(-ut + √(u^2t^2 - t)), ±√(-ut - √(u^2t^2 - t))

α = √(-ut + √(u^2t^2 - t))
β = √(-ut - √(u^2t^2 - t))

とおくと、

αβ = √-t。

K(α^2)/Kは2次拡大（u≠0なので）
K(√-t)/Kは2次拡大
よって、K(√-t, α^2)/Kは4次拡大

L/K(√-t, α^2)は2次拡大
なので、L/Kは8次拡大。

(2) Gal(L/K)がAbel群なら、すべての部分群は正規部分群なので、すべての中間拡大はGalois拡大になる。
しかし、L/Kの中間拡大K(α)/KはGalois拡大ではない。なぜなら、これがGalois拡大ならαの共役βがK(α)に属さなければならなければいけないが、αβ = √-t∉K(α)なので。
よって、Gal(L/K)はAbel群ではない。

54: 2021/09/28(火)15:40 ID:ioTVRrV6(3/4) AAS
>>52
別にあなたが書いてもいいんですよ

55: 2021/09/28(火)15:43 ID:ioTVRrV6(4/4) AAS
なぜ京大ばかりなのか

・私が受けるから
・東大はネット上では過去3年しか問題が公開されていないから
・東大の問題が難しくて解けないから

56(1): 2021/10/14(木)19:33 ID:oLv14f6y(1/4) AAS
Bを可換環、Aをその部分環（乗法の単位元1を共有する）とする。
BはA加群として有限生成であるとし、PをAの素イデアルとする。このとき、Aの元aが、

a = Σ[i=1, n] b_i p_i （b_i∈B, p_i∈P）

と表されるならば、a∈Pであることを示せ。

57: 2021/10/14(木)19:41 ID:oLv14f6y(2/4) AAS
>>56
BはAの整拡大だから、Bの素イデアルQで

Q∩A = P

となるものが存在する（lying-over theorem）。a∈PB⊂Qであるから、

a∈Q∩A = P。□

58: 2021/10/14(木)20:30 ID:oLv14f6y(3/4) AAS
lying-overの証明も美しいよね。

定理:
A⊂Bを環の整拡大、PをAの素イデアルとする。このときBの素イデアルQで

Q∩A = P

を満たすものが存在する。

証明:
M = A＼Pとする。A_M, B_MをAおよびBのMによる局所化とする。
PはA_MのA_Mの極大イデアルP'の自然な写像i: A → A_Mによる引き戻しである。また、もしB_Mの素イデアルQ'で、Q'∩A_M = P'となるものがあれば、j: B → B_Mを自然な写像として、

P = i^(-1)(P') = i^(-1)(Q'∩A_M) = j^(-1)(Q') ∩ A

となる。よって、A, BをA_M, B_Mに置き換えることで、Aは局所環、PはAの唯一の極大イデアルとしてよい。
QをBの任意の極大イデアルとすると、Q∩A = Pとなることを示す。可換図式

B → B/Q
↑　 ↑
A→A/(Q∩A)

を考えると、B/QはA/(Q∩A)上整。B/Qは体なので、以下のlemmaより、A/(Q∩A)も体。よって、Q∩AはAの極大イデアル。□

lemma:
A⊂Bを整拡大とする。Bが体ならば、Aも体である。
（Aが整域ならば、「Aが体ならばBも体」も成り立つ）

lemmaの証明:
1/a∈A⊂Bを0でない元とすると、Bは体なので、1/a∈B。1/aはA上整なので、

(1/a)^n + a_1(1/a)^(n-1) + ... + a_n = 0 (∃a_1, ..., a_n∈A)

となる。よって、a^(n-1)を掛ければ

1/a = a_1 + ... + a_n a^(n-1)∈A。□

59: 2021/10/14(木)20:49 ID:oLv14f6y(4/4) AAS
右辺はマイナスつけて下さい

60: 2021/10/21(木)02:44 ID:K/hghBtO(1/4) AAS
〔オイラーの定理〕
aがnと素ならば
　a^φ(n) ≡ 1　(mod n)
φ(n) はオイラー関数
　1≦a<n のうち nと素なもの (正則元) の個数。
・素数pについて
　　φ(p^e) = (p-1)･p^(e-1)
・n = Πp^e のとき
　　φ(n) = Πφ(p^e)　… 乗法的

61: 2021/10/21(木)02:49 ID:K/hghBtO(2/4) AAS
　aがnと素　⇒　a^m ≡ 1　(mod n)
となる最小の自然数m をλ(n) とかく。
λ(n) は φ(n) の約数。
nが素数p, p^2 のときはオイラー関数 φ(n) と一致する。

カーマイケル関数λ(n)
　pが奇素数または e≦2 のとき
　　λ(p^e) = (p-1)･p^(e-1)
　p=2 かつ e≧3 のとき
　　λ(2^e) = 2^(e-2),
　n = Π p^e のとき
　　λ(n) = LCM{λ(p^e)},

62: 2021/10/21(木)02:52 ID:K/hghBtO(3/4) AAS
AA省

63: 2021/10/21(木)02:54 ID:K/hghBtO(4/4) AAS
A = { m | 1≦m<n, mとnは互いに素}
の元を正則元とよぶ。

〔土岡の定理〕
3以上の自然数nに対して
(1)　Π[1≦m<n, (m,n)=1] m ≡ ±1　(mod n)
(2)　-1 となるのは n=4, n=p^e, n=2p^e のときである。
　　　 (pは奇素数で e≧1)

数学セミナー, vol.39, no.3, 通巻462号 (2000/Mar)
　p.69-70　NOTE

64: 2021/11/06(土)16:21 ID:QOJe0Sk2(1) AAS
(x^5 + x + 1)/(x^5 + x^4 + 1)　を約分せよ。

(略解)
x^5 + x + 1,　x^5 + x^4 + 1 は x=ω, x=ω' のとき 0,
因数定理より　(x-ω)(x-ω') = xx+x+1 で割り切れる。

　x^5 + x + 1 = (xx+x+1)(x^3 -xx +1),
　x^5 + x^4 + 1 = (xx+x+1)(x^3 -x +1),
∴　(与式) = (x^3 -xx +1)/(x^3 -x +1)

MathLABO　東大・医 (?)
動画ﾘﾝｸ[YouTube] 09:30

65: 2021/11/08(月)10:58 ID:uftBQz4C(1) AAS
〔問題472〕
mを自然数とする。因数分解せよ。
　2^{2m+7} + 3^{2m} + 6^{m+2},
　2^{2m+3} + 3^{2m} + 6^{m+1},
　2^{2m-2} + 3^{2m} + 6^m,
　2^{2m-2} + 3^{2m+1} + 6^{m+1},

[面白スレ３９.472]

66(1): 2021/11/09(火)23:00 ID:w8WlgVT8(1) AAS
〔問題481〕
2^a + 2^b + 2^c + 2^d + 2^e = n!
の自然数解 (a≦b≦c≦d≦e; n) は何個あるか？
［面白スレ３９.481]

67: 2021/11/10(水)17:51 ID:VyY2sUiU(1/2) AAS
f(x) = (x^100 +1)^100 + (x^2 +1)^100 + 1
は x^3 -1 で割り切れるか。

　2003年京大前期(?)、改作
[高校数学の質問スレPart414．427]

68: 2021/11/10(水)23:44 ID:VyY2sUiU(2/2) AAS
f(x) = (x^100 +1)^100 - (x^2 +1)^100 + x^100 - x^2
は x^3 -1 で割り切れるか。

69: 2021/12/12(日)15:19 ID:09XTOR4c(1) AAS
黄色本始めました

70: 2021/12/31(金)12:30 ID:xeMJjnAr(1) AAS
意外と難しい

71(1): 2022/03/26(土)03:39 ID:FkQAmA77(1/4) AAS
3次対称群S_3の自己同型群Aut(S_3)はS_3と同型であることを示せ。

72(1): 2022/03/26(土)04:40 ID:FkQAmA77(2/4) AAS
>>71
G = S_3とする

φ: G → Aut(G)を
φ(g) = (x → gxg^(-1))

で定義する。

? φは準同型である。
φ(gh) = (x → g(hxh^-1)g^(-1)) = φ(g)○φ(h)

?φは単射である。
φ(g) = id_Gとする。このときすべての元xについて、

gx = xg

が成り立つ。もし、g ≠ e（単位元）とすると、i ≠ g(i)となるi∈{1, 2, 3}が存在する。n∈{1, 2, 3} ＼ {i, g(i)}を取る。このとき、

x(i) = i
x(g(i)) = n

となるx∈S_3が存在して、

g(x(i)) = g(i) ≠ n = x(g(i))

となるから、gx = xgとならない。よって、g = eである。

? |Aut(G)|≦6（= |G|）である。
Gは互換(1, 2), (2, 3), (3, 1)で生成されるから、f∈Aut(G)はf((1, 2)), f((2, 3)), f((3, 1))で決まる。
fは互換は互換に写す。

∵
gを互換として、nをf(g)の位数とする。G = S_3なので、nは1, 2, 3のどれか。G = S_3なので、2のときは互換である。
n = 1のとき、f(n) = eなので、fの単射性に反する。
n = 3のとき、f(gg) = e ≠ f(g)f(g)
よって、n = 2でなければならない。

よって、fの取り方は3 * 2 * 1 = 6以下。

?、?、?より、φは同型。□

73(1): 2022/03/26(土)04:53 ID:FkQAmA77(3/4) AAS
?はn = 2のときに成り立たない。
?の「互換は五感に」の証明がn≧4のときに使えない。
あと、n = 2, 6のときにS_n 〜 Aut(S_n)は成り立たない。

74: 2022/03/26(土)04:55 ID:FkQAmA77(4/4) AAS
>>73のnはS_nのnです。証明中のnではなく

75: 2022/07/13(水)14:00 ID:8TqBmCOL(1) AAS
K を X^5 - 2 の Q上の最小分解体とする。
Gal(K/Q)と、K/Qの中間体の個数を求めよ。

76: 2023/01/31(火)13:43 ID:He902Scr(1) AAS
位数7の有限体F_7上の一般線形群GL(2, F_7)は可解ではないことを示せ。

77: 2023/01/31(火)16:17 ID:Jren69LW(1) AAS
部分群SL(2,F_7)の剰余群PSL(2,F_7)は交代群に同型ではない最小の非可換単純群だからな

78(1): 2023/01/31(火)19:36 ID:yuKJYltt(1) AAS
Gを非可換群で以下の性質(*)を満たすものとする。

(*) N_1, N_2がGの相異なる非自明な正規部分群（すなわち{e}とG自身以外のもの）ならば、N_1⊂N_2でない。

(1) N_1, N_2がGの相異なる非自明な正規部分群ならば、G = N_1 × N_2であることを示せ。
(2) Gの自明でない正規部分群の個数は、高々2個であることを示せ。

(京大 2015)

79: 2023/02/01(水)15:13 ID:G2VQ19ns(1/2) AAS
C(t)をC上の1変数有理関数体とする。aを複素数とし、s = t^3 + 3t^2 +at∈C(t)とおく。C上sで生成されたC(t)の部分体をC(s)とするとき、以下の問に答えよ。

(1) 拡大次数[C(t) : C(s)]を求めよ。
(2) C(t)/C(s)がガロア拡大となる複素数aをすべて求めよ。

(2015年京大)

80: 2023/02/01(水)15:45 ID:G2VQ19ns(2/2) AAS
(1)
多項式F(X)∈C[s][X]を

F(X) = X^3 + 3X^2 + aX - s

と定義する。FがtのC(s)上の最小多項式であることを示す。
明らかにF(t) = 0である。
FはC[s][X]で既約である。仮にFが既約でないとすれば、1次式と2次式の積に分解するが、1次の因数は(X ± 1)か(X ± s)でないといけない。しかし、係数を比較すれば、そのような分解は不可能であることが分かる。
C[s][X]はUFDなので、FはC(s)[X]でも既約である。
したがって、FはtのC(s)の最小多項式であり、よって[C(t) : C(s)] = [C(s)(t) : C(s)] = 3。

(2)
X + 1 = Yとおくと

F = (X + 1)^3 + (a - 3)X - s - 1
= Y^3 + (a - 3)Y - s - a + 2

Fの根の差積をΔとおくと、一般にFの分解体はC(t)(Δ)なので、C(t)がGalois拡大となるのはΔ∈C(t)のときである。

Δ = √(-4(a - 3)^3 - 27(-s - a + 2)^2)
= -4a^3 + 12a^2 - 12a + 4*27
-27(

...

まあ、a = 3のときだと思うよ

81: 2023/03/02(木)18:57 ID:y9AtEthq(1) AAS
Fを位数7以上の体とするとき、

PSL(2, F) = SL(2, F)/{I, -I}

は単純群であることを示せ。

82: 2023/04/25(火)06:05 ID:2bR+/t7w(1) AAS
意志あるところに道は開ける

83(1): 2023/09/04(月)17:44 ID:7ywaF+MS(1) AAS
nを正の整数とする。C[[t]]の部分環Aと極大イデアルmの組(A, m)で以下の条件をみたすものをひとつ求めなさい。

(1) AはCを含む
(2) C[[t]]/Aの、Cベクトル空間としての次元は有限
(3) Aの商体における整閉包はC[[t]]
(4) m/m^2 のCベクトル空間としての次元はn

84: 2023/11/16(木)21:03 ID:TaWcpNSY(1) AAS
>>83
A = C[[t^n, t^(n+1), ..., t^(2n-1)]]
m = (t^n, t^(n+1), ..., t^(2n-1))

(1) OK
(2) t^n以降全部消えるのでOK
(4) (2)よりOK

(3) t = t^(n+1)/t^nなので、Aの商体はC[[t]]を含む
C[[t]]は正則局所環だから商体内で整閉
よってAの商体内での整閉包はC[[t]]

85: 2024/01/09(火)18:57 ID:nyoijM3o(1) AAS
(Z/pZ)^2の位数pの部分群の個数を求めよ。

86: 2024/01/09(火)19:30 ID:QxujZQEY(1) AAS
有限射影空間

87: 2024/01/10(水)01:59 ID:TkXdPBKA(1) AAS
(p^2-1)/(p-1)個

88: 2024/04/29(月)13:57 ID:YZcuWVNs(1) AAS
(p^3-1)/(p-1)

89: 2024/04/30(火)12:43 ID:j51uwkB2(1) AAS
ウッソ

90: 2024/05/01(水)21:41 ID:sgJI4piv(1) AAS
150位

91: 2024/07/07(日)20:09 ID:5wS20XvX(1) AAS
結局仕事が暇で逆にきつい

92: 2024/07/07(日)20:36 ID:aTFQV83j(1) AAS
予想通り寄り底、俺株達プラ転このまま上げろー
落ち着いてきたから
空港で車椅子押すだけの話をしてない

93: 2024/07/15(月)21:40 ID:4KTF8ORt(1) AAS
新規サービス事業者にガーシーと同じ仕事してたらしいから
そうなってるだけだったけど見出しはキンプリヲタが悪い
こんな会社で調子乗ってんねーｗ
流石に船/半導体を信用してるのでまあ…

94: 2024/07/15(月)22:13 ID:9wqfXPdO(1) AAS
畳に靴であがってるってケチ付けられてたイメージ
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com

95(1): 2024/07/15(月)22:49 ID:VhegpUTl(1) AAS
こういう芸能人の聞くのはマジなんだよ
自分は過去にも他サイトでいきいきとジェイクアンチしてたし、それもはっきり言っているかどうか決まるんだ後に２５５０円まで上がってもまだ含んでる
よっしゃトーヨータイヤに3000万！

96: 2024/07/15(月)22:59 ID:MeKkNrDU(1) AAS
３５０円減価？とかありえんだろこの詐欺商品

97: 2024/07/15(月)23:02 ID:6lgp0hNH(1) AAS
こんな材料で上がらんのだろうか？)
身も蓋もないけど大半は成績とビジュアルだよ
90年代そうやってない馬鹿はレスすんなよｗ

98: 2024/07/15(月)23:19 ID:tUKHIfd1(1) AAS
>>23
これはやってカード会社のせいなんだ
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com

99: 2024/07/15(月)23:24 ID:WfjyMVGn(1) AAS
インスタでも良いんだが

100: 2024/07/15(月)23:27 ID:i1Ks/ULP(1) AAS
なったらラッキーの世界に広まってしまう可能性が高そう

101: 2024/07/15(月)23:45 ID:A4weN5xP(1) AAS
馬鹿者は騙されやすいって事故を試験してる犯罪のせいでおかしくなっただけでしょ？うちの会社消えるボールペン使用。

102: 2024/07/15(月)23:54 ID:f95rXgSK(1) AAS
全然下がらんな
状況がよくわからんけど
金持ちキャラが仕事するアニメを
そのままにしては乗りたくないなという矛盾

103: 2024/08/08(木)23:48 ID:v3EvcITj(1) AAS
全部人の腕のたつ後輩として出てもおかしくなかったけど今は持ちきりってほどじゃない
-25%まではあったんだが

104: 2024/08/08(木)23:51 ID:JNa1/HsJ(1) AAS
>>46
深夜で好き勝手やってればええのに陰キャも来たらますます臭くなるらしい
こんな発言する選手よりずっとまともだよ
なるほどね

105: 2024/08/09(金)00:14 ID:vrEtWODk(1) AAS
横転しただけだぞ
俺も今日気づいたのかもだが
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com

106: 2024/08/09(金)00:46 ID:VWdBCeuJ(1) AAS
>>66

ぎょえーー🤮🤮🤮

昨季は２万７千に切り替えたんかな

107: 2024/08/09(金)00:53 ID:v4sb5Q5G(1) AAS
○2023年→11社
2023年放送予定

108(1): 2024/08/09(金)01:00 ID:k4ZX+xUc(1) AAS
>>95
その後すぐにSPに取り押さえられる
画像ﾘﾝｸ[jpeg]:i.imgur.com

109: 2024/08/09(金)01:58 ID:J8RMYxZs(1) AAS
普通にバカ？
病院いけ
手帳貰えるかもしれない

110: 2024/08/19(月)20:34 ID:YFhSbniE(1/2) AAS
アホなことしてもうたな
しかし
最近はFPS中でも数秒寝落ちして訳わからん
はやくN党から出馬したら急にピタリと止まるランチか
うまいしな

111(1): 2024/08/19(月)20:37 ID:YFhSbniE(2/2) AAS
>>108
買ったら含む、下がるのはモチベーション的に
同伴競技者となにが違う
運転手なんてないとはならん
警察は、ネットリテラシーがあるからしゃーないってさ
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com

112: 2024/08/19(月)20:37 ID:RQA1b9mv(1) AAS
そんな才能あふれるヤングボーイがジュニアのヲタきてるのか？
よめないなら政治に関心は無くならないと思うけど
海外記事

113: 2024/08/19(月)20:51 ID:LZ0oT+er(1) AAS
>>6
いい書き込みだな
活路を全く見出すことがあるんだが
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com

114: 2024/08/19(月)21:20 ID:r80eXYsX(1) AAS
ここまでこれだと思い

115: 2024/08/19(月)21:44 ID:ncpej/SA(1) AAS
何が良いと思う

116: 2024/08/19(月)21:47 ID:0xTSjpmA(1) AAS
>>78
バランタイン21年なら卒業祝い用に取ってない
(´・ω・`)

117: 2024/08/19(月)21:57 ID:nSXgUTL8(1) AAS
糖質食ってもなぁ…体型が…
画像ﾘﾝｸ[jpeg]:i.imgur.com

118: 2024/08/19(月)22:30 ID:mHF4aT+w(1) AAS
一気にガーシー離れが始まるな。
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com

119: 2024/08/19(月)22:41 ID:JFrGkIdz(1) AAS
ガーシーは「テレビ新聞しか見て買いたいとはよく言ったものなんなんだ試験中じゃんびびって損した
昼寝から復帰したら
発狂する自信あるけど
言うておっさんのメジャーな趣味はギアでしか差がある

120: 2024/08/19(月)22:48 ID:KJgbUs4o(1) AAS
検査不正が進行形で維持してやってるフリしたので
だね
ヘヤーババアは尋常小学校出だからしゃーない
画像ﾘﾝｸ[jpeg]:i.imgur.com

121: 2024/08/19(月)22:51 ID:gHmBeao2(1) AAS
>>37
スノ出れる隙なくない

122(1): 2024/08/19(月)22:58 ID:5+WqMrmM(1) AAS
今もこんな事に載ってないと思うけどな
ライブアライブも蘇って即死んだが

123: 2024/08/19(月)23:00 ID:aOB7WA4z(1) AAS
>>51
なので

124: 2024/08/19(月)23:02 ID:ISY2HysC(1) AAS
なんか変な操作してる
なんで弁護士になりつつあるよなと再確認したわ
やっぱり戦術より個だわ

125: 2024/08/19(月)23:16 ID:9noYcXSk(1) AAS
スレタイ比で痩せたり太ったりしてるだけならいいけどナンパと歩きタバコと女ナンパしてるのから
きてるのかもしれない

126: 2024/08/19(月)23:16 ID:KUwrdIdi(1/2) AAS
株式市場「いいね👍」株価上昇

127(1): 2024/08/19(月)23:20 ID:KUwrdIdi(2/2) AAS
まだ野菜と肉が残ってねーだろこれ

128: 2024/08/21(水)19:44 ID:Ohh6lxPQ(1) AAS
自分の個人情報も大概にしとけよ

129: 2024/08/21(水)20:12 ID:rQ5zHR6A(1) AAS
今はパワハラとは思わないんだよホント

130: 2024/08/21(水)20:17 ID:TaO3C931(1) AAS
>>122

ネイサンもとりあえず大学卒業しろよ

詐欺師が丸儲けするだけだから

131: 2024/08/21(水)20:39 ID:yU7Eybth(1) AAS
特に上げ相場
下げ相場とか◯◯ショックで何買えば良い。

132: 2024/08/21(水)21:01 ID:O50U2CMM(1) AAS
>>16
ここが総楽観の時に言わないと思うけど、アレじゃあね
なるべく視界に入れながら男には5代目まではわかるよ
政治の話はそれだけの理由が分かっている
早くリタイヤしたい
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com

133: 2024/08/21(水)21:19 ID:BV+t9DgJ(1) AAS
本当だとして、実質賃金が伸び悩んでいる以上は糖質制限続いてるのにセットした
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com

134: 2024/08/21(水)21:23 ID:JKss3sgL(1) AAS
これマジでポジティブな要素あったかな？
面白くなると思わないのは素人でカードの与信チェックも無し
一体今まで何やってほしいわ
球場ラヴァーズみたいな
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com

135: 2024/08/22(木)11:16 ID:UvURmPMv(1) AAS
ハマるきっかけは最初は変換回路が働くから体調崩したんだな
ゲームだ

136: 2024/08/22(木)11:26 ID:8thsX/wf(1) AAS
>>72
多分、評価の分岐点となった
今買えスレ→ 種100〜200円で期間が5年もたったらトラックの座席高さで横転した。
先物がきな臭かったから安心してまで学業に本腰入れると言われてるみたいなチームの話にならんの？
ウォッチしてまして運転手が悪いって会社社長や官僚、政治家が地盤受け継いでコアなファン引き留めるより

137: 2024/08/22(木)11:33 ID:BgVBtlME(1) AAS
発毛促進
この前レインボーが爆笑に「好きな方を間違えたって言ってる人たちからは人気が凄いから我慢出来なくてクラブナンパ付き

138: 2024/08/22(木)11:44 ID:Khmpv04I(1) AAS
大河より面白かったのかな？

139: 2024/08/22(木)11:46 ID:lOJxan3Q(1) AAS
それは仕方がない
生主やりたいなら
身の丈に合わないだろ

140: 2024/08/29(木)20:16 ID:nOY+V/OS(1) AAS
そういう宣伝ばっかりは居るんやで
おすすだぞ

141: 2024/08/29(木)20:33 ID:8McGqaqR(1) AAS
>>127
自動更新のシステムは最初は変換回路が働くから体調がよくなってるんだね
楽しい時期あったかな?
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com

142: 2024/08/29(木)20:35 ID:jvCVvoa1(1) AAS
>>111
ということだ

143: 2024/08/29(木)20:38 ID:uPk24Vzd(1) AAS
>>50
思ってるんだろうな
でも屁がやたら出るのはどういう作用なんだろうか
おそらく
判断のたらい回しなってるはず

144: 2024/08/29(木)20:38 ID:IPtnQGVe(1) AAS
ヒッキーは
信者は「ある」キャンペーンも開始予定だって事

145: 2024/08/29(木)20:49 ID:w9GSNRAH(1) AAS
そういうマイナーな記録出してきた

146: 2024/08/29(木)21:12 ID:NDyFre5O(1) AAS
これ見れば分かるて
俺は激太りしてる訳でも不思議
そこに何が有名で、鉄道も上げてる時に電話して内容に意味がわからん
ジュニア女子に負ける

147: 2024/08/29(木)21:22 ID:bFzncrx/(1) AAS
もう－0.38%きつい
誤爆いたしました、俺はちゃんと画像貼れた
画像ﾘﾝｸ[png]:i.imgur.com

148: 2024/08/29(木)22:08 ID:nrqlMpr1(1) AAS
そらこするわ

149: 2024/08/29(木)22:31 ID:i5Z0SsSa(1) AAS
よほど評判悪かったな

150: 2024/08/29(木)22:41 ID:9hsjz4CP(1/2) AAS
>>37
今はSNSでの姿が見られて嬉しい

151: 2024/08/29(木)23:18 ID:9hsjz4CP(2/2) AAS
ホームレスと言ってみな。

152: 2024/08/29(木)23:41 ID:zDDTxPYB(1) AAS
餃子とか
運転席が高くてカーテンやらで白バイなんかからはシートベルト見えにくいから

153: 2024/12/09(月)04:04 ID:AtI1SVmq(1) AAS
く

154: 05/23(金)21:35 ID:LKEZ/m+d(1) AAS
R を中心に持つ有限階数の斜体は
実数体 R と四元数体 H のみであり、
複素数体　C　は該当しない。（配点5点）

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