代数学演習 (154ﾚｽ)
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51: １３２人目の素数さん [sage] 2021/09/28(火) 15:28:59.90 ID:ioTVRrV6 K = ℂ(t)を変数tに関する複素数係数の1変数有理関数体とする。uを0でない複素数とし、Lを多項式f(X) = X^4 + 2utX^2 + t∈K[X]のK上の最小分解体とする。 (1) 拡大次数[L : K]を求めよ (2) ガロア群Gal(L/K)はアーベル群であるか？理由をつけて答えよ。 （京大） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615289461/51
53: １３２人目の素数さん [sage] 2021/09/28(火) 15:39:19.76 ID:ioTVRrV6 (1) f(X) = 0を解くと、 X = ±√(-ut + √(u^2t^2 - t)), ±√(-ut - √(u^2t^2 - t)) α = √(-ut + √(u^2t^2 - t)) β = √(-ut - √(u^2t^2 - t)) とおくと、 αβ = √-t。 K(α^2)/Kは2次拡大（u≠0なので） K(√-t)/Kは2次拡大 よって、K(√-t, α^2)/Kは4次拡大 L/K(√-t, α^2)は2次拡大 なので、L/Kは8次拡大。 (2) Gal(L/K)がAbel群なら、すべての部分群は正規部分群なので、すべての中間拡大はGalois拡大になる。 しかし、L/Kの中間拡大K(α)/KはGalois拡大ではない。なぜなら、これがGalois拡大ならαの共役βがK(α)に属さなければならなければいけないが、αβ = √-t∉K(α)なので。 よって、Gal(L/K)はAbel群ではない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615289461/53
54: １３２人目の素数さん [sage] 2021/09/28(火) 15:40:39.37 ID:ioTVRrV6 >>52 別にあなたが書いてもいいんですよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615289461/54
55: １３２人目の素数さん [sage] 2021/09/28(火) 15:43:46.75 ID:ioTVRrV6 なぜ京大ばかりなのか ・私が受けるから ・東大はネット上では過去3年しか問題が公開されていないから ・東大の問題が難しくて解けないから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1615289461/55
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