代数学演習 (154ﾚｽ)
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27: 2021/09/09(木)09:17 ID:AVLUQ2bw(1/4) AAS
k を可換体とする．k[X, Y ] を k 上の 2 変数多項式環として，f ∈ k[X, Y ] の
零点集合 V (f) を
V (f) = {(a, b) ∈ k × k | f(a, b) = 0}
によって定義する．次の 2 条件は同値であることを示せ．
(i) k は代数的閉体ではない．
(ii) V (f) = {(0, 0)} となる f ∈ k[X, Y ] が存在する．
（2018 京大）
(i) ⇒ (ii)
kは代数的閉体ではないので、f∈k[X]でkに根を持たないものが存在する。
fの次数をdとして、f(X/Y)Y^dが求める多項式である。
(ii) ⇒ (i)
V(f)に真に含まれる代数的集合は空集合だけだから、fで生成されるイデアルは極大イデアルである。
Hirbertの零点定理より、kが代数的閉体ならば、k[X, Y]の極大イデアルは
(X - a, Y - b)
の形に限られるから、kは代数的閉体ではない。□
28: 2021/09/09(木)09:18 ID:AVLUQ2bw(2/4) AAS
p は 3 以上の素数とする． SL(2, F_p) で有限体 F_p の元を成分とし行列式が 1である 2×2-行列全体がなす群を表す．
このとき，A^(p−1) = 1 となるSL(2, F_p)
の元 A の個数を求めよ．ここで，1 は単位行列である．
（2022 京大）
29: 2021/09/09(木)09:35 ID:AVLUQ2bw(3/4) AAS
行列をたくさん書かなきゃいけないので、略して書きます。
まず、Aの標準形を求めます。n乗して単位行列になることから、Aは対角化可能です。det(A) = 1なので、Aの標準形は
diag(λ, 1/λ) （λ∈F_p, λ≠ 0）
の形です。
SL(2, F_p)は各標準形の共役類の合併になるので、GL(2, F_p)による作用
GL(2, F_p)×SL(2, F_P)∋(P, A) → P^(-1)AP
を考えます。元Aと共役な元の個数は
|GL(2, F_p)|/|{P∈GL(2, F_p) ; P^(-1)AP = A}|
です。GL(2, F_p)の元は、1列目は0ベクトル以外 * 2列目は1列目のスカラー倍以外なので、
|GL(2, F_p)| = (p^2 - 1)(p^2 - p)
です。Aとしてはdiag(λ, 1/λ)のみ考えればいいです。具体的に成分計算すれば
λ = ±1のとき、Aを固定するのはGL(2, F_p)全部
それ以外のときは、対角行列か右上左下の行列のときだけ
です。λ = ±1以外の元はp - 3個あり、GL(2, F_p)の対角行列は(p - 1)^2個あるので、答えは
1 + 1 + (p - 3)(p^2 - 1)(p^2 - p)/2(p - 1)^2
= 2 + (p - 3)p(p + 1)/2
です。
30: 2021/09/09(木)09:43 ID:AVLUQ2bw(4/4) AAS
p を素数，n を非負整数とする．このとき，位数 3p^n の有限群は可解群であ
ることを示せ．p 群が可解群であるという事実は用いてもよい．
（2020 京大）
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