代数学総合スレッド Part6 (566ﾚｽ)
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443(1): 2021/11/07(日)00:45 ID:H6MTOwMn(1) AAS
堀田良之「代数入門　群と加群」のp.113の証明で質問です。
補題19.1（ツァッセンハウス）
H、Kを群Gの部分群、H'、K'をH、Kの正規部分群とする。
H'(H∩K')、K'(H'∩K)はそれぞれ　H'(H∩K)、K'(H∩K)の正規部分群で
H'(H∩K)/H'(H∩K') 〜 K'(H∩K)/K'(H'∩K) (〜は同型を表す)
[証明]
同型定理から、H'(H∩K)/H' 〜 (H∩K)/(H'∩K) 　(〇)
この同型において、H'∩K ⊂ (H'∩K)(H∩K') ⊂ H∩K　に対応するH'(H∩K)の部分群は
H'(H'∩K)(H∩K') = H'(H∩K') (△)
だから、再び同型定理によって
H'(H∩K)/H'(H∩K') 〜 (H∩K)/(H'∩K)(H∩K') (=)
K'とHを入れ換えると補題の同型を得る。
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「だから、再び同型定理によって」とありますが、
(△)をどう使えば(=)を示せるのか、筆者の想定する示し方がよく分かりませんでした。教えて欲しいです。

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