純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

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113: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/26(土) 10:06:12.07 ID:w9PY0JQs

>>111 追加

ZFCが urelement（下記）
を持たない 集合論であることは、しばしば 看過される
日常の集合論は、urelementを常用するので その感覚で ZFCの公理系を見ると イミフになる

上記 渕野(>>111)にも 同様の注意書きがある
P8
"公理的集合論では，考察の対象はすべて集合である，と考える．したがっ
て，以下で「ある x について ...」と言ったときには， 「ある集合 x につい
て ...」という意味である．"

"集合論の公理系の一番最初の公理は，すべての集合はその要素の全体から
一意に決まることを主張する次のものである：
（外延性公理）略．
ZFC の他の公理は，すべて，「集合 x1, x2, . . . が与えられたとき，これらか
ら ... という性質を持つ集合を作ることができる」というタイプの主張（存在公理）となっている．”

これらを あたまに叩き込んでおきましょう！　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E5%85%83_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
原始元 (集合論)
原始元(英語: urelement ドイツ語の接頭辞 ur- は「原始的な」を意味する)とはオブジェクトであってそれ自身は集合でないが、集合の要素には成り得るもののことである。原始元は原子、アトムとも呼ばれることがある。また、日本語文献でも翻訳せずにurelementのまま用いられることも多い。原始元は空集合とは異なるものである
集合論における原始元
1908年のツェルメロ集合論の論文では原始元が含まれており、これが今日ZFAやZFCA (すなわちZFAに選択公理を加えたもの)と呼ばれるものの一種である。[1] 公理的集合論と密接に関連する文脈では、集合論は原始元を持たない理論で簡単にモデル化できるので、原始元は必要ないことがすぐにわかった。[2]したがって、公理的集合論ZFとZFCの標準的な説明では、原始元については触れていない（例外については、Suppes[3]を参照）。
集合論の公理化であって原始元を呼び出すものには、原始元付きクリプキ＝プラテック集合論や、メンデルソンによって記述されたフォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論の変形がある。[4]
型理論では、型0のオブジェクトを原始元、アトムと呼ぶことができる。
新基礎集合論(NF)に原始元を追加してNFUを生成する試みは、驚くべき結果をもたらす。
略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/113

115: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/26(土) 10:35:11.64 ID:w9PY0JQs

>>113 追加

さて、その上で

日本語
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%92%8C%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
和集合の公理
　↓
仏語
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_la_r%C3%A9union
Axiome de la réunion
和集合の公理
（google訳）
和公理（または「和公理」）は、ツェルメロ＝フランケル集合論（ZF）の公理の一つである。これは、任意の集合Aに対して、集合Aの要素集合のすべての要素のみを含む集合が存在することを述べている（文脈は、すべての対象が集合であり、特にA が集合の集合である場合の理論の文脈であり、そうでない場合は明示的に指定する必要がある）。
この公理は、部分集合の公理と置換公理スキーム（ツェルメロ理論Zのペアの公理を証明するもので、したがって ZF では冗長）の助けを借りて、2 つの集合の和集合（両方の集合の要素を正確に含む）が集合であることを証明することを可能にします。
　↓
英語
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_union
Axiom of union
Relation to Pairing
The axiom of union allows one to unpack a set of sets and thus create a flatter set. Together with the axiom of pairing, this implies that for any two sets, there is a set (called their union) that contains exactly the elements of the two sets.

Relation to Intersection
There is no corresponding axiom of intersection. If
A is a nonempty set containing E, it is possible to form the intersection
∩A using the axiom schema of specification as
∩A={c∈E:∀D(D∈A⇒c∈D)},
so no separate axiom of intersection is necessary.
(引用終り)

＜補足＞
１）和集合の公理においても、
　仏語 fr.wikipedia にあるように
　”集合Aの要素集合のすべての要素のみを含む集合が存在することを述べている（文脈は、すべての対象が集合であり、特にA が集合の集合である場合の理論の文脈であり、そうでない場合は明示的に指定する必要がある）”
　ということ
　つまり、和集合の公理は 基本は集合Aが含む集合族（集合Aが無限の要素集合の族からなるとして*)）の
　要素集合の族の全ての要素を集めて、集合を作って良いということを主張する
２）また英語 en.wikipediaにあるように
　Relation to Pairing で、対の公理で 集合AとBとで ペア{A,B}を作って 和集合公理を使うと
　A∩B が出来ます
３）さらに、Relation to Intersection つまり 集合積との関係についても
　上記の通りですが、
　ひらたく言えば 集合Aが 集合族D1,D2,・・Di・・から成るとして
　つまり A={D1,D2,・・Di・・} として
　集合族D1,D2,・・Di・・ の 集合積が、和集合の部分集合として 定義できるのです
　だから、”so no separate axiom of intersection is necessary”なのです

注*)もちろん、集合Aが有限の要素集合の族からなるとしても 同様です

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/115

123: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/26(土) 11:33:07.54 ID:w9PY0JQs

>>80 戻る
>”失敗は成功のもと”！
>「間違えるのが悪いわけではない」

・ガウスも間違えた（下記）
　代数学の基本定理の証明の学位論文で
　後世から見て ギャップがあったという。が、歴史的重要性は 色あせない
・リーマン ディリクレの原理
　証明なしにつかって ワイエルシュトラスによって 批判されたが、後 ヒルベルトにより正当化された
　が、歴史的重要性は 色あせない
・新しいところでは、ワイルズ フェルマー最終定理。途中 間違いを指摘されたが、修正され 論文は出版された
・望月IUTも同様

数学の歴史は、間違いの歴史でもあるのです
「間違えるのが悪いわけではない」
至言です　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
代数学の基本定理
注釈 1^ ガウスの最初の証明は幾何学的な前提としてジョルダン曲線定理が暗黙で使われており、後年の観点からは不備がある

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%AA%E3%82%AF%E3%83%AC%E3%81%AE%E5%8E%9F%E7%90%86
ディリクレの原理
歴史
純粋数学への応用はリーマンによってはじめて行われた。彼は複素解析の基礎づけのためにこの原理を証明もなしに使用して、リーマン面上の関数の存在定理を証明したが、後にカール・ワイエルシュトラスによってギャップが指摘された。その後、ダフィット・ヒルベルトが再定式化したことで、ディリクレの原理は正当化され

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E
ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
しかし同(1993)年9月、証明に1ヶ所誤りが含まれていることが判明した。1年後の1994年9月19日、ワイルズは彼自身が「今までの職務においてもっとも重要な瞬間」と呼ぶアイデアを得た

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論 IUT
2012年10月、ヴェッセリン・ディミトロフとアクシェイ・ヴェンカテシュにより「エタール・テータ関数が素数"2"で分割する悪い場所においては正しく機能しなくなる」障害に基づく数値的な有効性の指摘があった

関連研究
2022年7月
ヴォイチェフ・ポロウスキ、南出新、星裕一郎、イヴァン・フェセンコ、望月新一らの査読論文が、東京工業大学が編集する数学論文誌Kodai Mathematical Journalに掲載された。この結果により、宇宙際タイヒミュラー理論によるフェルマーの最終定理の新たな証明を得たとしている

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/123

131: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/26(土) 20:36:04.37 ID:w9PY0JQs

>>127
(引用開始)
ID:gZ1LykHx
>>111
>上記 渕野のPDF冒頭
>”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた際に見つけた typos などの訂正などの update が書きこまれている”
>とある。そもそも 東京大学出版会，2007 成書となるときに、十分な校正がされているはず
>そのうえ、”2009 年の後期以降に神戸大学で大学院の講義でテキストとして用いた”とあるので、
>君の指摘は、たぶん 誤解・無理解・上滑り じゃないの？
反例：
>「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
は間違い。実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ。
(引用終り)

それ、下記だね
　>>72「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf

ここに、目次
第 2 章 公理的集合論の展開 .... 29
2.1 整列順序 ... 30
で
(引用開始)
Ｐ44
2.3 順序数
順序数 (ordinals) のクラス On を導入する．次の性質を On が持つこと
がポイントとなる．
(2.13) On は真のクラスで，推移的で14)，∈ に関し整列順序となってい
る15)．
(2.14) 各順序数 α は，（推移的な）集合で，（∈ により）整列されている．
(2.15) 任意の整列順序集合 ⟨X, <⟩ は，一意に決まる順序数 ⟨α, ∈⟩ と順序
同型となる．
これらの性質，特に最後の (2.15) により，順序数の全体のクラスは，すべて
の整列順序集合のクラスの（順序同型に関する同値類の）自然な代表元を集
めたクラスとみなせる．

P48
順序数 α が極限順序数でないとき，後続順序数であるという．
極限順序数の概念を使って自然数の全体の集合 N を定義することができ
る： n ∈ On が自然数であるとは，n は 0 または後続順序数で n のすべて
の要素も後続順序数であること，とできるからである．
補題 2.22 (1) 自然数の要素は自然数である．
(2) 集合 X を ∅ ∈ X ですべての y ∈ X に対し y ∪ {y} ∈ X となるよ
うなものとすると，X はすべての自然数を含む．

補題 2.22, (2) でのような X は無限公理により存在するから，分出公理により，
N = {n ∈ On : n は自然数 }
は集合になる．また，補題 2.22, (2) により，p.10 で導入した 0, 1, 2,. . . は N
の最初の方の要素になっていることがわかる．
(引用終り)

さて、上記”反例：
>「n∈Onが自然数であるとは，nは0または後続順序数でnのすべての要素も後続順序数であること」
は間違い。実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ。”

において
0以外の任意の自然数n（n≠0）の後続順序数はn+1であって、上記 y ∪ {y} の記号を借用すると
n+1：＝n ∪ {n} と略記できるよね
そして、n（n≠0）の前後続順序数は n-1であって、
n：＝n-1 ∪ {n-1} と略記できる
なので
『実際、0以外の任意の自然数は後続順序数ではない要素0を持つ』は、イミフ 言葉のサラダだね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/131

133: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/26(土) 21:39:50.69 ID:w9PY0JQs

>>114
>だから「順序数全体のクラス」だってｗ
>ちなみになぜ集合ではなくクラスとなってるか分かるかい？

それ、wikipediaにあったな
初学者のために 引用しておく

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする写像 G A,< を超限帰納法によって
G A,< (a)={GA,<(x)∣x<a} ＊）
と定義したとき、GA, < の値域 ran(GA, <) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]
注＊）この式は、原文では”A,<”の部分が 小さい文字の下付添え字になっているのだが 5ｃｈ 便所板では こんな落書きの式になってしまうのです。是非原文をご覧あれ

脚注
2^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という “同値関係” によって類別したとき、順序集合 (A, <) の “同値類” を (A, <) の順序型 (order type) と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。
したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「順序型」を参照

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E5%9E%8B
順序型（order type）とは、全順序集合同士の "型" を比較するために、その構造のみに注目することによって得られる概念である
非公式な定義
二つの全順序集合 (A, <A), (B, <B) が同型のとき、(A, <A) と (B, <B) は全く同じ "型" をしていると言える
略

正式な定義
上の説明では type(A, <A) をきちんと定義したことにはならない。なぜなら、全順序集合の "型" とは何かが定義されていないからである。(※) をみたすようにすべての全順序集合 (A, <A) に対して type(A, <A) を定義する方法として、まず次のようなものが考えられる。それは、(A, <A) と同型な順序集合全体の集合を type(A, <A) と定義する方法である
このように定義すれば (※) が成り立つことが示せるので何の問題もないように思えるかもしれない
だが、この方法には一つ大きな欠点がある
それは、A が空集合でない限り (A, <A) と同型な順序集合全体の集合というものは存在しないことが（集合論の公理から）示されるということである。
つまり、そのような集まりは 大きすぎるため集合になることができないのである。したがって上のような仕方で type(A, <A) を定義することはできない。そこで、この方法を少し修正して次のように順序型を定義する：
略

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/133

141: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/26(土) 23:24:32.82 ID:w9PY0JQs

>>134 追加
下記 渕野 昌
”ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生”
「数理科学」2022年6月号拡張版 が、面白く また 参考になるだろう

https://fuchino.ddo.jp/index-j.html
渕野昌
[22.07.14]『数理科学』2022年6月号特集に掲載された論説 「ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生」のpdfファイルをupdateしました．出版社との約束で，本文が白紙になったものをしばらく置いてあったのですが，ほとぼりがさめたので，可読なヴァージョンで置き換えてあります

https://fuchino.ddo.jp/misc/hausdorff-x.pdf
特集／集合・位相の考え方—数学の基礎をなす概念—
ハウスドルフの集合論と位相空間論の誕生
—現代，ないし(仮想的) 近未来の視点からの考察
本稿は「数理科学」2022年6月号特集に寄稿した論考の2024年12月17日の時点での拡張版
本稿の最新版は，https://fuchino.ddo.jp/misc/hausdorff.html から download できます．この拡張版には，寄稿記事では，ページ数の制限のために割愛した引用文の原文が含まれています．また，最新版には，寄稿後の修正/拡張も，含まれてい (る可能性があり) ます
目次
1. 今，なぜ，ハウスドルフなのか . . . . . 1
略
P8
ハウスドルフは，フォン・ノイマ
ンの 1920 年代の順序数の基礎付けの研究に気がつい
ていなかったようである．その結果として，順序型の
同値クラス (これは真のクラスになってしまう) のカ
ノニカルな代表元を順序数や基数と定義する，とい
うフォン・ノイマンの発見したトリックを
[Hausdorff 192716)] で採用できず，関連する箇所の記述がもたつい
たものになっている ∗18）．しかも，現代の集合論に翻
訳して考えると，ここでは，同値類が真のクラスにな
るような同値関係での同値類の代表元をとる，という，
もうひとひねり加えないとうまく実現できない ∗19）こ
とを，あたかも実行できているかのように扱って議論
しているので，基礎付けが完全でないものになってしまっている．

Ｐ11
以上，スッペスの [Suppes 195731)] を除くと，どの
教科書も，論理体系への言及は全くなく，順序数や
基数については，[Suppes 196032)] を除くと，どれも，
それを読んだだけでは，整合的な導入ができるのか
どうかは，不明な書き方になっている ∗23）．筆者は，
2007年に行なった学部学生向けの講演で，順序数と
超限帰納法に関連する話題に触れたときに，同席さ
れていた上野健爾先生から，「それはきちんと定式化
できるものなのですか」と質問されて面喰った記憶
がある．しかし，彼が，ここで挙げたような教科書
で「集合論」を習っていたのだとすると，そのよう
な感想が出てきたとしても，何の不思議もないと言
えるかもしれない．順序数や基数については，[彌永
200218)] の 38 ページに「濃度や順序数の一般論はそ
の後それほど利用されることもなく，進展もなかった」
と書かれるなど，(日本では?) 今だに，無理解と継子
扱いに曝されているようである．

参考文献
18) 彌永昌吉: ガロアの時代ガロアの数学，第二部 数学篇，
シュプリンガー・フェアラーク東京 (2002)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/141

146: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/26(土) 23:50:32.22 ID:w9PY0JQs

>>142
>順序数全体の集まりはクラスの定義に合致するからクラスです。
>しかし集合ではありません。

ふっふ、ほっほ
そっから、勘違いのオチコボレさんか？ｗｗ　；ｐ）

下記『「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する』などを
百回音読してねｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
クラス (集合論)
クラスまたは類（るい、英: class）は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。
「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。
例えば、ツェルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。
（どのような定式化を選んだとしても）「全ての集合の集まり」はクラスである。（ZF では厳密な言い方ではないが）このクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス（つまり集合）は小さいクラス (small class) とも呼ばれる。例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。
集合論以外の文脈では「クラス」を「集合」の同義語として使うこともある。
この用法はクラスと集合が現代的な集合論の用語法に基づく区別をされていなかった時代からある。
19世紀以前の多くの"クラス"に関する議論は集合のことを指していた、もしくはもっと曖昧な概念を指していた。
この意味でのクラスは「級」という訳語を当てることがある（たとえば滑らかさのクラスの C1-級など）。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/146

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