純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 (252ﾚｽ)

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/

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59: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/23(水) 22:35:41.78 ID:jUNIihmc >>56-58 ふっふ、ほっほ ID:gP8zJ0yp は、御大か 巡回ありがとうございます >勉強なのだろう いやいや、囲碁でも攻めている方が楽しいものでね ；ｐ） （”しのぎ”の得意な人は別としてね） 例えば (引用開始) 分出公理から導けますけど？　知らなかった？ ∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀Y∈X:(x∈Y)} >その上で ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”についての説明が必要だよね 不要。 (引用終り) 『不要』は、完全に、誤魔化しですよね Ｎ大ゼミで 結構経験があったでしょうね そういえば、院試の口頭試問で「アスコリ＝アルツェラの定理の証明は？」 と聞かれて、「自明だから証明不要！」と言ったら 落とされたという逸話があるそうな まあ、当然かも 正直に「わかりません。修士に進学して勉強に励みます」くらい言えば、救いがあったかもですね （＾＾ 上記『不要』も同じですなｗ 誤魔化し 丸見えです　 ；ｐ） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%AA%EF%BC%9D%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%A9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 アスコリ＝アルツェラの定理 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/59

62: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/07/23(水) 23:59:24.90 ID:jUNIihmc >>60-61 まだ、ぶつぶつ言っているよ、この人ｗ ；ｐ） １）>>18の ペアノ公理の自然数の集合論的構成で 　”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86 　”Aは無限公理により存在する集合を任意に選んだもの” 　問題は、これが 公理的集合論として 自然数の集合Nになっているか 　それについて どの公理を使ったかを明示しながらの証明が必要だよね 公理的集合論としては ２）さて、下記 独仏英wikipedia と Akito Tsuboi 筑波大と 渕野 昌の５者は、∩を使わない。∩を使わないで済ましているよ 　i)独wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom 　　Natural numbers N :={x ∈ I ｜∀z(z inductive → x∈ z)}} 　ii)仏wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini 　　The set of natural numbers 　　that's to say : 　　The class of natural numbers is a set . 　　Indeed : 　let A be a set verifying Cl( A ) whose existence is ensured by the axiom of infinity. Then, the existence of the set ω is ensured by the axiom scheme of comprehension and its uniqueness by the axiom of extensionality , by defining ω as the intersection (therefore the smallest in the sense of inclusion) of all sets containing 0 and closed by successor ( A only intervenes to be able to define ω as a set, but ω does not depend on A ): ω = { x ∈ A | Ent( x ) } ; 　iii)英wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_infinity 　　Extracting the natural numbers from the infinite set 　　In formal language, the definition says: 　　∀n(n∈N⟺([n=∅∨∃k(n=k∪{k})]∧∀m∈n[m=∅∨∃k∈n(m=k∪{k})])). 　iv)Akito Tsuboi 筑波大 数理論理学II https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf 　　P8 無限公理 　　無限公理によって保証される無限集合 X を一つ選び， 　　ω = {y ∈ X : ∀x(φ(x) → y ∈ x)} 　　とする．ここで φ(x) は ∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → S(y) ∈ x) である．このようにすれば，ω は集合であり，φ(x) を満たす最小のものになる（もちろん X の取り方に依存しない） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/62

63: １３２人目の素数さん [] 2025/07/23(水) 23:59:49.88 ID:jUNIihmc つづき 　v)「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf 　　P10（無限公理） 集合 x で空集合を元として含み，すべての y ∈ x に対し，y ∪ {y} ∈ x となるようなものが存在する． 　　無限公理で存在の保証された集合 x は 0, 1, 2,. . . のすべてを含むものとなっている．そこで，このような x と分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる3)．3) 詳細については，p.48 を参照． 　　P48 補題 2.22 (1) 自然数の要素は自然数である．(2) 集合 X を ∅ ∈ X ですべての y ∈ X に対し y ∪ {y} ∈ X となるよ うなものとすると，X はすべての自然数を含む． 　　補題 2.22, (2) でのような X は無限公理により存在するから，分出公理により，N = {n ∈ On : n は自然数 }は集合になる． ３）だから、公理的集合論において、無限公理から自然数Nを、どの公理を使って きちんと定義できるか これは極めて重要な課題なのだ 　　上記 ”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”は、まずいよね。どの公理を使っているかが 不明確だ 　　そもそも この式 ”N:=∩{x⊂A∣∅∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”で きちんと自然数Nが定義できているかどうか。特に 自然数以外の余計な元を含んでいないかどうかが問題だと思う。すなおに 上記の５者同様に ∩を使わずに済ませるのが 賢明でしょ！■ 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/63

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