純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）21

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103: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/07/25(金) 10:45:22.61 ID:ddlXMCUI

>>102
>∩恐怖症は治ったかい？

ふっふ、ほっほ
踏みつけたゴキブリが まだ動いている
ガハハハッ

>>72に戻る
(引用開始)
>まず 記号∩を 他の公理から導かないといけないだろう
分出公理から導けますけど？　知らなかった？
∩X:={x∈A|∃A∈X∧∀Y∈X:(x∈Y)}
>その上で ”N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]}”についての説明が必要だよね
不要。
(引用終り)

全部 >>72　v)「ゲーデルと20世紀の論理学第４巻」（東京大学出版会，2007）の，渕野 昌の執筆した第I部 https://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
に書いて有る
(引用開始)
　P10（無限公理） 集合 x で空集合を元として含み，すべての y ∈ x に対し，y ∪ {y} ∈ x となるようなものが存在する．
　無限公理で存在の保証された集合 x は 0, 1, 2,. . . のすべてを含むものとなっている．そこで，このような x と分出公理を用いると，自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }の存在が証明できる3)．3) 詳細については，p.48 を参照．
(引用終り)

分出公理については、上記 渕野先生のpdfにもあるが、下記ja.wikipediaが分かり易いだろう
平たくいえば、分出公理＝部分集合を作る公理
で、ZFC公理系では 自然数の全体からなる集合N = {0, 1, 2, . . . }を作るのに
一旦 無限公理で Nを部分集合として含む 無限集合の存在A(とする)を認めて
Aから、分出公理で部分集合として Nを取り出すという（by 渕野他）

さて、上記 N:=∩{x⊂A|{}∈x∧∀y[y∈x→y∪{y}∈x]} なる式が 自然数の集合N を表すと宣う
問題は、記号∩を導くのに 分出公理を必要とするならば それは冗長だろう！■

補足
なお 単純に 集合N = {0, 1, 2, . . . }のような無限集合を構築することは ZFC公理系では許されない
下記の通り ラッセルのパラドックスなどを防ぐために 無限集合の構築に制限を設けている

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論
3. 分出公理図式（内包公理図式）
→詳細は「分出公理」および「en:Axiom schema of specification」を参照
部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される
分出公理は部分集合のみを構築でき、次のように一般的な集合を構築することはできないことに注意せよ：
{x:ϕ(x)}.
この制限は、ラッセルのパラドックス 略 や、ラッセルのパラドックスの変種（無制限の内包公理を含む素朴集合論に関連するもの）を防ぐするために必要である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1753002417/103

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