ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (484ﾚｽ)
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223(2): 暇人 06/28(土)08:34 ID:4S+Arcik(1/23) AAS
【Grokへの質問】
代数方程式の解が係数の四則演算とべき根を使って表せるのは、
その代数方程式のガロア群が可解群、すなわち、順々に正規部分群をとっていったとき、商群が巡回群となり、
最終的に単位群まで縮小できる群であるとき、その時に限る。この定理の証明を示してくれる？。
【Grokからの回答】
この質問は、代数方程式のガロア群が可解群であるとき、かつそのときに限って、
解が係数の四則演算とべき根で表せるという定理（ガロア理論における可解性の定理）の証明を求めるものです。
この定理はガロア理論の中心的な結果の一つであり、証明は高度な抽象代数学の知識を必要とします。
以下では、証明の概要をできる限り簡潔かつ厳密に説明し、専門的な背景を持つ読者向けに詳細なステップを提供します。
証明はガロア理論の基本的な概念（ガロア群、体の拡大、可解群、原始根など）を前提とします。
224(3): 暇人 06/28(土)08:35 ID:4S+Arcik(2/23) AAS
>>223
定理
代数方程式 f(x)=0（係数が体 K に属する）の解が、K の元を用いた四則演算と
べき根（すなわち、方程式 x^n - a = 0 の解）によって表せる（根号表示可能である）のは、
そのガロア群 Gal(L/K)（ここで ( L ) は ( f(x) ) の分裂体）が可解群であるとき、かつそのときに限る。
証明の概要
証明は以下の2つの方向に分かれます：
十分性：ガロア群が可解群ならば、解は四則演算とべき根で表せる。
必要性：解が四則演算とべき根で表せるならば、ガロア群は可解群である。
以下では、まず十分性の証明を詳細に示し、次に必要性の証明を簡潔に説明します。
省2
225(3): 暇人 06/28(土)08:35 ID:4S+Arcik(3/23) AAS
>>224
1. 十分性の証明（ガロア群が可解群 ⇒ 解が四則演算とべき根で表せる）
設定
f(x)∈K[x] は次数 n の既約多項式で、L は f(x) の分裂体（つまり、f(x) が L で完全に因数分解される最小の体）。
ガロア群 G=Gal(L/K) は可解群である。
すなわち、( G ) には正規系列 G=G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} が存在し、各商群 Gi/Gi+1 は巡回群（したがってアーベル群）である。
L/K は有限次ガロア拡大で、ガロア対応により Gi に対応する中間体 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L が存在する。
各拡大 Ki+1/Ki は、ガロア群 Gi/Gi+1 が巡回群であるガロア拡大である。
証明のアイデア
可解群の正規系列に沿って、中間体のチェーンを構築し、
省2
226(4): 暇人 06/28(土)08:36 ID:4S+Arcik(4/23) AAS
>>225
ステップ1：巡回拡大の構造
まず、ガロア群 Gi/Gi+1 が巡回群である拡大 Ki+1/Ki を考えます。
巡回群の位数を ni=∣Gi/Gi+1∣ とし、Ki が1の原始 ni 乗根を含むと仮定します
（必要に応じて、原始根を添加した拡大を別途考える）。
補題（巡回拡大のべき根表示）：
Ki+1/Ki が位数 ni の巡回ガロア拡大であるとき、
Ki+1=Ki(α) であり、α^ni∈Ki となる α が存在する
（つまり、α は Ki 上のべき根）。
さらに、Ki が１の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含む場合、
省9
227(4): 暇人 06/28(土)08:37 ID:4S+Arcik(5/23) AAS
>>226
ステップ2：拡大の連鎖
正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って、体の拡大 K=K0⊆K1⊆⋯⊆Km=L を構築する。
各ステップ Ki+1/Ki は、ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる。
最終的に、L=Km は K から有限回のべき根の添加で得られる。
228(2): 暇人 06/28(土)08:38 ID:4S+Arcik(6/23) AAS
>>227
ステップ3：解の表現
f(x) の解は L の元であり、L は K から四則演算（体の基本演算）とべき根の添加の繰り返しで構成される。
各べき根 α は x^ni−a=0 の解であり、a∈Ki。
これを繰り返すことで、f(x) の根は K の元を用いた四則演算とべき根で表現できる。
229(2): 暇人 06/28(土)08:41 ID:4S+Arcik(7/23) AAS
>>225
補足：原始根の添加
（注：ここの箇所はGrokの文章を修正している
修正点１：元の文ではステップ１と２の間にこの文章があったのを補足として後ろにもってきた
修正点２：方程式x^ni−1を(x^ni−1)/(x-1)に修正
修正点３：元の文は「ζ_ni は方程式 …の解として得られる。（これはべき根の追加）」で終わっているが
このままだと循環論法なので、以下文章を追加した）
もし Ki が1の原始 ni 乗根 ζ‗ni を含まない場合、まず Ki(ζ‗ni) を構成する。
体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki は巡回拡大であり、
ζ_ni は方程式 (x^ni−1)/(x-1)=0 の解として得られる。
省5
230(2): 暇人 06/28(土)08:42 ID:4S+Arcik(8/23) AAS
>>224
2. 必要性の証明（解が四則演算とべき根で表せる ⇒ ガロア群が可解群）
設定
f(x)∈K[x] の解が、( K ) の元を用いた四則演算とべき根で表せると仮定。
つまり、解は体 K に有限回のべき根の添加で得られる体 M
（すなわち、M=K(α1,α2,…,αk))であり、αi^ni∈K(α1,…,αi−1)）
に含まれる。
L は f(x) の分裂体で、K⊆L⊆M。
証明のアイデア
べき根の添加で構成される体拡大は、ガロア群が可解群であるような拡大に対応する。
省1
231(2): 暇人 06/28(土)08:43 ID:4S+Arcik(9/23) AAS
>>230
ステップ1：べき根添加のガロア群
各拡大 K(α1,…,αi)/K(α1,…,αi−1) は、αi^ni∈K(α1,…,αi−1) による拡大。
この拡大はクンマー拡大であり、ガロア群は巡回群（位数 ni のアーベル群）またはその部分群である（原始根が適切に含まれる場合）。
よって、M/K は一連の巡回拡大の合成であり、ガロア群 Gal(M/K) は巡回群の拡張として可解群である。
232(1): 暇人 06/28(土)08:44 ID:4S+Arcik(10/23) AAS
>>231
ステップ2：分裂体への制限
L⊆M であり、L/K はガロア拡大。
ガロア理論により、Gal(M/K)→Gal(L/K) は全射であり、Gal(L/K)≅Gal(M/K)/Gal(M/L)。
可解群の商群は可解であるから、Gal(L/K) も可解群である。
233: 暇人 06/28(土)08:45 ID:4S+Arcik(11/23) AAS
>>224-232
注意点
体の標数：証明では、体の標数がガロア群の位数と互いに素であることを仮定した。
標数が p で、ガロア群の位数が p で割り切れる場合（例えば、有限体の場合）、
追加の議論（例えば、非分離拡大の扱い）が必要だが、
一般的な代数方程式（例えば、Q 上の多項式）ではこの仮定で十分。
（注：元の文では「体の特徴」となっていたのを「体の標数」に直した）
原始根：原始 n 乗根の添加は、技術的には四則演算とべき根の範囲内で処理される（(x^n−1)/(x-1)=0 の解として）。
厳密性：完全な証明には、ガロア対応やクンマー理論の詳細な適用が必要だが、ここでは主要な論理を簡潔に示した。
234(1): 暇人 06/28(土)08:47 ID:4S+Arcik(12/23) AAS
>>224
結論
十分性：>>225-229 ガロア群 Gal(L/K) が可解群ならば、解は四則演算とべき根で表せる。これは、正規系列に沿った巡回拡大がべき根の添加で構成できるため。
必要性：>>230-232 解が四則演算とべき根で表せるならば、ガロア群は可解群である。これは、べき根の添加による拡大のガロア群が可解であるため。
よって、定理が証明された。
235: 暇人 06/28(土)08:48 ID:4S+Arcik(13/23) AAS
>>234
補足
この証明は、ガロア理論の教科書（例：Dummit and Foote, Abstract Algebra や Ian Stewart, Galois Theory）に詳細に記載されています。
より具体的な例（例えば、3次や4次方程式の可解性）については、具体的なガロア群（例：S3,S4）の構造を分析することで理解が深まります。
>>223
質問者が特定の部分（例えば、クンマー拡大や巡回群の詳細）についてさらに知りたい場合、追加の説明を提供できますので、お知らせください。
以上が、ガロア群の可解性と代数方程式の解の根号表示可能性に関する定理の証明です。
236(3): 暇人 06/28(土)09:50 ID:4S+Arcik(14/23) AAS
223-235を読むかぎり、
Grokはここの「スレ主」こと現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhPよりも
ガロア理論による可解性の定理の証明を「理解」している、と思える
ただ1点気になるのは>>229の原始根の添加の箇所
過去のスレ主の発言をみると明らかに理解できていなかったが
Grokがこの点について、スレ主よりも分かっている説明ができるかどうか…
238(1): 暇人 06/28(土)11:56 ID:4S+Arcik(15/23) AAS
>>236
やっぱりスレ主はGrokよりはるかに分かってなかった
>まずは、有理数体Qの場合に限って・・・説明すれば良いところだが
分かってない人の典型的発言
> 「ステップ1により、べき根の添加（および必要に応じて原始根の添加）で構成できる」とか イミフ
「イミフ」は分かってない証拠
> 原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが
「原始根に相当する指数の根」 何それ 大丈夫？君
> 有理数体Qが標数0だと「理解」しているかどうか？そこから疑問だし、標数の意味さえあやしいかも
高卒君は標数に劣等感刺激されてイラついてます
241: 暇人 06/28(土)14:52 ID:4S+Arcik(16/23) AAS
>>240
>>> 原始根自身を添加するのではなく、1のべき根で 原始根に相当する指数の根を添加するのだが
>>「原始根に相当する指数の根」 何それ 大丈夫？君
>やれやれ馬脚だよ 一言補足すれば、”1 の原始n乗根”はありだが
>(google)AI による概要
>1のn乗根のうち、1以外のすべての冪乗が1にならないものを原始n乗根と呼びます
>原始n乗根は、1のn乗根全体を生成する役割を持ちます。
>1のn乗根は、原始n乗根を生成元として、それらの整数乗で表すことができます。
>例えば、1の12乗根は、原始12乗根の1乗、5乗、7乗、11乗で生成されます。
高卒君はAIもロクにつかえなかったか
242(1): 暇人 06/28(土)14:54 ID:4S+Arcik(17/23) AAS
>>236
【Grokへの追加質問】
十分性の証明で、「ζ‗niは方程式 x^ni−1=0 の解として得られる（これはべき根の添加）。」とあり、
１のべき根を添加するのに、１のべき根自身を添加すればいいと読めてしまいますが、これだと、循環論法になりませんか？
【Grokからの回答】
ご指摘の通り、十分性の証明において、
「原始 ni 乗根 ζ‗ni が方程式 x^ni−1=0 の解として得られる（これはべき根の添加）」
という記述が、循環論法に見える可能性があります。
この点について、明確化し、循環論法でないことを説明します。
243(1): 暇人 06/28(土)14:55 ID:4S+Arcik(18/23) AAS
>>242
以下では、当該箇所（ステップX）の議論を厳密に再検討し、
なぜこれが循環論法でないかを詳細に説明します。
問題の背景
十分性の証明では、ガロア群 G=Gal(L/K) が可解群であるとき、
代数方程式の解が K の元を用いた四則演算とべき根で表せることを示しています。
ステップXでは、巡回拡大 Ki+1/Ki を構成する際に、
Ki が１の原始 ni乗根 ζ‗ni を含まない場合、Ki(ζ‗ni) を構成する必要があり、
これが x^ni−1=0 の解の添加（べき根の添加）として記述されると述べました。
ご指摘の懸念は、ζ‗ni 自体が x^ni−1=0 の解であるため、
省3
244(1): 暇人 06/28(土)14:56 ID:4S+Arcik(19/23) AAS
>>243
ステップXの詳細な再検討
状況の再確認
Ki+1/Ki は位数 ni の巡回ガロア拡大で、
ガロア群 Gal(Ki+1/Ki)≅Z/niZ です。
巡回拡大を構成するためには、クンマー理論により、Ki が原始 ni 乗根 ζ‗ni を含むことが必要です（クンマー拡大の条件）。
もし Ki が ζ‗ni を含まない場合、まず拡大 Ki(ζ‗ni)/Ki を構成し、これがガロア拡大であり、ガロア群が巡回群（またはアーベル群）であることを利用します。
原始乗根の添加
１の原始 ni 乗根 ζ‗niは、方程式 x^ni−1=0 の根であり、
Ki(ζ‗ni)/Ki はこの方程式の分裂体への拡大です。
省6
245: 暇人 06/28(土)14:57 ID:4S+Arcik(20/23) AAS
>>244
なぜ循環論法でないか？
ご指摘の「循環論法」の懸念は、ζ‗ni を添加するために ζ‗ni 自身を仮定しているように見える点です。
しかし、以下の理由から循環論法にはなりません：
べき根の定義：
「べき根の添加」とは、方程式 x^ni−a=0（a∈Ki）の解を添加することです。
x^ni−1=0 の場合、a=1∈Ki であり、ζ‗ni はこの方程式の解です。
証明の文脈では、Ki に ζ‗ni が含まれていない場合、
Ki(ζ‗ni) を構成することは、Ki の元（ここでは 1∈Ki）を用いた
方程式 x^ni−1=0 の解を追加する操作であり、これは「べき根の添加」の定義に一致します。
省10
246(1): 暇人 06/28(土)14:58 ID:4S+Arcik(21/23) AAS
可解群の構造との整合性：
可解群の正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って拡大を構成する際、
各ステップで必要な原始乗根の添加は、
前のステップで得られた体 Ki の元に基づいて行われます。
ζ_ni の添加は、拡大 Ki(ζ_ni)/Ki を構成し、
そのガロア群が可解（実際にはアーベル）であることを保証します。
これにより、次のステップ（クンマー拡大）の準備が整います。
循環論法の回避：
循環論法とは、結論を仮定して証明を進める場合です。
ここでは、ζ_ni を添加することは、Ki に含まれる 1 を用いて
省12
247: 暇人 06/28(土)15:04 ID:4S+Arcik(22/23) AAS
>>246
修正されたステップXの記述
ご指摘を受けて、ステップXの記述をより明確にすると以下のようになります：
ステップX：原始乗根の添加：
もし Ki が原始 ni 乗根 ζ_ni を含まない場合、
拡大 Ki(ζni)/Kiを構成する。
ζ_ni は方程式 x^ni−1=0（ここで 1∈Ki）の解であり、
Ki(ζ_ni) はこの方程式の分裂体である。
体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki はガロア拡大で、ガロア群は (Z/niZ)× に同型（アーベル群）。これは可解群である。
この拡大は、Ki の元 1 を用いたべき根の添加（x^ni−1=0 の解の添加）として記述でき、
省6
248(1): 暇人 06/28(土)15:14 ID:4S+Arcik(23/23) AAS
242-247を読む限り、全然わかってないわけではなさそうだが
肝心のところはどうもわかってなさそう
とはいえ、スレ主 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP は
全然カスリもしてないので、それに比べたら全然マシかと
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