ガロアの逆問題を完全に解決した (40ﾚｽ)
上下前次1-新
1(1): 2024/12/11(水)21:36 ID:Ih9cdYrl(1) AAS
補題:
任意の有限群は、あるnに対してn次対称群Snの部分群である。
証明:
Gを有限群、nをGの位数とする。
GのG自身への作用を(g, x) → gxで定めると、群準同型φ: G → Snが得られる。
φは単射なので、GはSnの部分群。 □
nを自然数、X1, ..., Xnを不定元、s1, ..., snをX1, ..., Xnの基本対称式とする。
体の拡大Q(X1, ..., Xn)/Q(s1, ..., sn)を考える。
n次多項式F∈Q(s1, ..., sn)[X]を
F(X) = X^n + Σ_k (-1)^k s_k X^(n-k)
省4
11(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/13(金)08:01 ID:q1rprzz/(2/2) AAS
>>9
>有限単純群だけについても示せれば凄いんだが。具体例（多項式の係数）を書くのは無理っぽいが。
そこは詳しくないですが
脱線しますが
ベールイの定理 （Belyi's theorem）がありまして（下記）
『ベールイの定理はベールイ関数の存在定理であり、その発見以来、ガロアの逆問題の研究に頻繁に利用されている』
らしい
で、ベールイの定理に触発されて、
『当時驚くべき結果だと考えられ、代数的数体上の非特異代数曲線を組合せ的なデータで記述する子供の絵の理論をグロタンディークが構築する契機となった』
そこから、望月氏が ”復元”（まさにガロアの逆問題）を考えて
省13
12: 2024/12/13(金)10:20 ID:I0vIqqpA(1) AAS
>>8
＞ホイヨ
また現代数学童貞がガロア理論の基本定理も理解できない分際でガロアの逆問題とか語りだしたか
検索しか能がない●ルが何を言おうが無意味
13(2): 2024/12/13(金)13:30 ID:+aIhJ8z7(1) AAS
>>7
>『』の箇所を任意の体に置き換えたら成り立つのは、ガロア理論の基本定理から明らか
任意の群がガロア群として現れるのは明らかではないと思うが
14(1): 2024/12/13(金)14:04 ID:4qaWHamy(1) AAS
>>13
任意の有限群が対称群の部分群として現れることは1で述べられている
あとは、ガロア理論の基本定理を理解しているなら明らか
明らかでないなら、君がガロア理論を理解できてないってこと
15(1): 2024/12/13(金)17:44 ID:/WwhyaLe(1) AAS
>>14
じゃあ、「ガロアの基本定理から明らか」は間違いだったってことだね？
16: 2024/12/13(金)18:30 ID:MKnc0fb8(1) AAS
>>15
いや、君が●違いだったってこと
17: 2024/12/13(金)18:37 ID:qM6L4lnd(1) AAS
自分の間違いを認められないのは心の弱さの証明
18(1): 2024/12/13(金)18:54 ID:9kiqpV5W(1/2) AAS
ガロア理論の基本定理は
任意の群がガロア群として現れることとは別だと思われるが
19: 2024/12/13(金)20:35 ID:IICqUMpV(1/4) AAS
>>18
別というかすぐ出るから
20(1): 2024/12/13(金)20:35 ID:IICqUMpV(2/4) AAS
>>13
明らかだと思うけどね
21(1): 2024/12/13(金)22:03 ID:9kiqpV5W(2/2) AAS
>>20
明らかと思うのは自由だが
＞ガロア理論の基本定理から明らか
これに違和感を覚えるのは自然ではなかろうか
22: 2024/12/13(金)23:29 ID:IICqUMpV(3/4) AAS
>>21
なんで？部分群と部分体との1体1対応を示してるのが基本定理よ？
23: 2024/12/13(金)23:31 ID:IICqUMpV(4/4) AAS
ああもしか
・有限群は全て対称群の部分群
・ガロア群が対称群である体の拡大が存在
も必要とするからって？
簡単だからもちろんそれは前提の上で
一番の要は基本定理でしょ
24: 2024/12/14(土)01:02 ID:uyPb+8af(1/4) AAS
あるいは「任意の体」がおかしいって？
そりゃそうだよ任意の体で成り立つならQで成り立つから
ここの言いたいことは「体を適当に選べば」ということだと認識すべきでしょ
「任意の体」と書いたことを咎めるつもりならそう指摘すれば良いこと
25(1): 2024/12/14(土)05:52 ID:gDg0SRkK(1/3) AAS
任意の有限群は対称群の正規部分群になり得るか？
これが解ければいいのか
26: 2024/12/14(土)07:25 ID:gDg0SRkK(2/3) AAS
nが十分大ならn次交代群は単純だから意味ないか
27: 2024/12/14(土)07:34 ID:YVD+z0ty(1/3) AAS
>>25
正規部分群である必要ないけど
ガロア理論の基本定理 理解してないね
28(2): 2024/12/14(土)07:36 ID:YVD+z0ty(2/3) AAS
ガロア理論の基本定理
体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。
「L と K の中間体 M」 と 「Gal(L/K) の部分群 H」 について次の式が成立つ。
M=L^Gal(L/M),H=Gal(L/L^H).
だから、基礎体がQじゃなくてもいいなら、任意の有限群をガロア群とするガロア拡大が存在する
ただ、それは、ガロアの逆問題の解決でもなんでもないけど
29(1): 2024/12/14(土)07:48 ID:gDg0SRkK(3/3) AAS
>>28
体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。
L と K の中間体は一般にKのガロア拡大とは言えない。
30: 2024/12/14(土)11:51 ID:uyPb+8af(2/4) AAS
>>29
それは当たり前のことで
ここでは
>>28
>H=Gal(L/L^H).
が主眼なんですよ
31: 2024/12/14(土)11:59 ID:6ue0HZB/(1) AAS
>>11
>そこから、望月氏が ”復元”（まさにガロアの逆問題）を考えて遠アーベルに適用して、IUT理論を作ったという・・
コピペ荒らしさん、
普通の数学のBelyi's theoremと遠アーベル幾何
復元を経由し、、奇異な世界IUTへ逝ったんでしょ
32(1): 2024/12/14(土)16:05 ID:YVD+z0ty(3/3) AAS
任意の有限群は対称群の部分群 である一方
任意の有限群が対称群を正規部分群で割った剰余群として実現できる なんて
都合のいいことはいえない
だから基礎体をQに固定しているガロアの逆問題はそう簡単に解決できない
33: 2024/12/14(土)16:48 ID:uyPb+8af(3/4) AAS
>>32
>任意の有限群が対称群を正規部分群で割った剰余群として実現できる なんて
>都合のいいことはいえない
簡単な群で対称群から全射つまり対称群の作用がないのって
なんかないかな
34(2): 2024/12/14(土)18:48 ID:iVYx7sVY(1) AAS
PSL(2,7)
35: 2024/12/14(土)21:10 ID:uyPb+8af(4/4) AAS
>>34
π:Σn→>PSL(2,7):epicがないことはすぐ出ますか？
結構大変？
36(1): 2024/12/14(土)22:12 ID:CBZJVLGF(1) AAS
>>34
ふうむ
(参考)
groupprops.subwiki.org/wiki/Projective_special_linear_group:PSL(3,2)
Projective special linear group:PSL(3,2)
Definition
This group is defined in many equivalent ways:
1.It is the projective special linear group of degree three over the field of two elements, i.e., PSL(3,2).
2.It is the special linear group of degree three over the field of two elements, i.e., SL(3,2).
3.It is the projective general linear group of degree three over the field of two elements, i.e., PGL(3,2).
省13
37: 2024/12/15(日)08:12 ID:kG3JrngK(1) AAS
>>36
正則行列も分からん高卒には無理だから諦めろ
英語が読めたからといって数学が分かるとはいえん
38: 2024/12/28(土)18:33 ID:b8LzAV4/(1) AAS
任意の有限群を与えたときにそれをガロア群として持つ
有理係数の（整数係数でも同じ）代数方程式（多項式＝0）が存在するか。
有限群が対称群や交代群だと答えはYES。巡回群だと答えはYES。
アーベル群でもYES。しかし群にはいろいろある。単純群だけに
限っても答えの方程式を与える方法があると良いね。
39: 01/01(水)18:07 ID:ZJQ9IpcS(1) AAS
可解群でもYES。
40: 02/10(月)02:38 ID:xsE4fYth(1) AAS
多項式の係数体を代数閉体（たとえばC）にしてまうと、定数ならざる任意のｎ次多項式は1次因子に完全分解されてまうから、
常に既約でなくなる。あるいは多項式が既約で無い場合にも拡張されたガロア群、を考えるとしても、
その場合にはガロア群は恒等要素を持つだけの自明群にしかならないので、与えられた任意の有限群Gを表すことはできない。
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