ガロアの逆問題を完全に解決した (40ﾚｽ)
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1(1): 2024/12/11(水)21:36 ID:Ih9cdYrl(1) AAS
補題:
任意の有限群は、あるnに対してn次対称群Snの部分群である。

証明:
Gを有限群、nをGの位数とする。
GのG自身への作用を(g, x) → gxで定めると、群準同型φ: G → Snが得られる。
φは単射なので、GはSnの部分群。 □

nを自然数、X1, ..., Xnを不定元、s1, ..., snをX1, ..., Xnの基本対称式とする。
体の拡大Q(X1, ..., Xn)/Q(s1, ..., sn)を考える。
n次多項式F∈Q(s1, ..., sn)[X]を

F(X) = X^n + Σ_k (-1)^k s_k X^(n-k)
省4

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5(1): 2024/12/12(木)08:21 ID:O4Z7ltrk(1) AAS
>>1
＞任意の有限群Gに対して、Gをガロア群にもつ体の拡大が存在する。

ガロアの逆問題（ガロアのぎゃくもんだい、英語: inverse Galois problem）とは、
全ての有限群が『有理数体 Qの』ガロア拡大のガロア群として現れるかどうかを問う、
ガロア理論の問題である。

『』の箇所を任意の体に置き換えたら成り立つのは、ガロア理論の基本定理から明らか

ガロア理論の基本定理
体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。
「L と K の中間体 M」 と 「Gal(L/K) の部分群 H」 について次の式が成立つ。
M=L^Gal⁡(L/M),H=Gal⁡(L/L^H).

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