数学の本 第104巻 (127ﾚｽ)
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98: １３２人目の素数さん [] 2025/09/03(水) 18:28:43.47 ID:xygHwMwG Xを完全正則とする。 Z(X)={f^{-1}(0)|f:X→R連続関数}と置く(ゼロ集合全体の集合)。 M(X):={F⊆Z(X)＼{空}|FはZ(X)＼{空}の⊆の意味での極大フィルター} M(X)に位相を定める: Z∈Z(X)に対して、U_Z:={F∈M(X)|Z∈Fではない}と置き、O:=(U_Z全体によって生成される位相)と置く。 (この時、(U_Z全体)はOの基底になっている。) この時、(M(X),O)はXのCech-Stoneコンパクト化であることを示したい。 これがコンパクトであることは証明できましたが、ハウスドルフであることの証明がわかりません。 Grokに聞いても何の参考にもならない嘘証明を言われるばかり。 お力を貸していただきたいです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/98
99: １３２人目の素数さん [] 2025/09/03(水) 18:32:30.34 ID:kf29KVd+ 桂都丸という落語家がいた http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/99
100: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/04(木) 04:53:15.44 ID:+zYgHoIr x, y∈M(X) を相異なる２点とする。Z∈x をとる。任意の W∈y について Z∩W ≠ ∅ とすると { Z∩W ; W∈y } で生成されるフィルターは y を含むから y の極大性より y に一致する。 とくに Z∈y である。とくにこれが任意の Z について成立するなら x⊂y であり、x の極大性より x=y となって矛盾する。よってある Z∈x とある W∈y で Z∩W = ∅ である。Z, W 各々が R への連続関数のゼロの集合だからある f : X → R を Z = f⁻¹(-1)、W = f⁻¹(1) と選べる。Z’ = f⁻¹((-∞,1/2])、W’ = f⁻¹([-1/2,∞)) とする。Z∩W’ = ∅ により W’∉x であり x∈U_W’ であり、同様に y∈U_Z’ である。z∈U_W’ とすると W’∉z である。すべての F∈z に対して F∩W’ ≠ ∅ であるなら z の極大性から W’∈z となり矛盾するからある F∈z に対して F∩W’ = ∅ である。同様に考察すれば z∈U_W’∩U_Z’ ならある F,G ∈z をとって F∩W’ = ∅ 、G∩Z’ = ∅ であるから F∩G∩ (Z’∪W’) = ∅ となるが、z がフィルターだから F∩G ≠ ∅ であり、定義から Z’∪W’ = X であるから矛盾する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/100
101: １３２人目の素数さん [] 2025/09/04(木) 07:27:53.88 ID:3PVFTZ2E >>100 ありがとうございます >>Z, W 各々が R への連続関数のゼロの集合だからある f : X → R を Z = f⁻¹(-1)、W = f⁻¹(1) と選べる。 ここだけがわからないです。互いに素なZ,Wを1個の連続関数で表すのがわからないです(30分考えました)。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/101
102: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/04(木) 10:55:13.81 ID:+zYgHoIr Z = p⁻¹(0)、W = q⁻¹(0) として f(x) = 4arctan( p(x)²/q(x)2 )/π - 1 など http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/102
103: １３２人目の素数さん [] 2025/09/04(木) 11:15:08.40 ID:3PVFTZ2E >>100,102 いけました。ありがとうございました。 数日考えても解けなかった問題を、あっさりと数時間で解かれると、俺ってセンス無くてただ単に数学が好きなだけなんだなと痛感。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/103
104: １３２人目の素数さん [] 2025/09/04(木) 11:16:53.00 ID:3PVFTZ2E >>102 ちなみに、本件において、 U_Z:={F∈M(X)|Z∈F} ではなく、 U_Z:={F∈M(X)|Z∈Fではない} と定義していることについて、なにか理由や技術的テクニックはあるんですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/104
105: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/04(木) 11:59:39.36 ID:+zYgHoIr そりゃそうするのが X → M(X) が連続にする一番自然な方法だからでしょ？その定義において U_Z の引き戻しは X＼Z になる。ググっただけだから知らんけど。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/105
106: １３２人目の素数さん [] 2025/09/04(木) 14:12:06.84 ID:hDFIBjym >>103 例をたくさん知っておくと自分で例が作れるようになるよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/106
107: １３２人目の素数さん [] 2025/09/04(木) 18:47:34.30 ID:3PVFTZ2E >>105 おぉお、確かにそうですね。 証明を進めてやっと理解できました http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/107
108: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/04(木) 22:10:13.33 ID:JqKP5Xvs 一緒に頑張ろう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/108
109: １３２人目の素数さん [] 2025/09/04(木) 22:33:49.48 ID:3PVFTZ2E >>108 大田春外の深めよう位相空間を読んでます。 そろそろCech-Stoneコンパクト化を終える所 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/109
110: １３２人目の素数さん [] 2025/09/05(金) 10:45:09.63 ID:T93m62wR 徘徊老人の趣味 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/110
111: １３２人目の素数さん [] 2025/09/06(土) 17:40:01.50 ID:TQ/oiCa1 ちょっと不安になったので確認したい。 >>98 X=φ(空集合)の場合、M(X)={φ}だから、M(X)はXのCech-Stoneコンパクト化 ではない ですよね？ (つまり、Cech-Stoneコンパクト化の定義における、稠密性 が否定される) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/111
112: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/06(土) 18:28:33.23 ID:9a7+SykU ちゅどーん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/112
113: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 07:05:39.66 ID:TPEqjaq6 In mathematics, especially functional analysis, a bornology on a set X is a collection of subsets of X satisfying axioms that generalize the notion of boundedness. One of the key motivations behind bornologies and bornological analysis is the fact that bornological spaces provide a convenient setting for homological algebra in functional analysis. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/113
114: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 17:28:06.09 ID:Kga5magg >>111の疑問は、空集合もフィルターになってよいかどうかが根源にあったわ 一般には、空集合はフィルターじゃないんだな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/114
115: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 17:43:54.09 ID:Kga5magg だりぃ～、大田春外の｢深めよう位相空間｣だけど、p190のフィルターの定義に基づいたら、空集合もFilterになってしまうわ。 これ誤植っしょ 証明を考えてる際に、逐一空集合の場合の検討をしてきたから、この勘違いのせいですんげぇ無駄な時間を過ごしてしまった。 他の書籍を数冊確認したら、明示的にLet F be a non-empty collection of subsets of a topological space X satisfying。。。とか言ってたからな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/115
116: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 18:10:38.43 ID:2rPgBRGS 松坂君と同じ臭いがする http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/116
117: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 18:13:37.77 ID:Kga5magg >>116 少なくとも、俺は、いつまで経っても微積・線形代数 ではない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/117
118: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 18:16:25.13 ID:2rPgBRGS 間違いは適宜補いながら読むもの それがわからないと松坂君 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/118
119: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/07(日) 18:54:37.41 ID:oSyvW9KC 松坂だな ・下らない自己修正が当たり前を鬼の首のように報告 ・わざわざ洋書を引く http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/119
120: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 18:54:43.97 ID:Kga5magg >>118 うん、で、俺は自分で補いながら読んでるんだが、お前の定義に則っても俺はお前のいう松坂君に当てはまってないやん 何言うとんねん、お前w http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/120
121: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/07(日) 18:55:32.09 ID:oSyvW9KC ベテランビギナーの松坂くん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/121
122: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 18:57:18.37 ID:tWgditfC おお秒の争い http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/122
123: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 18:58:07.65 ID:Kga5magg >>119 2点目は常識だから、よしとして、1点目だけど鬼の首のようにって完全にお前の主観やんｗ テキストに忠実に基づいて検討してたから、躓いて何時間~何日も足止めを食らう → 解決 → このスレで愚痴を吐いてスッキリ これ、鬼の首か？ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/123
124: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 18:59:48.67 ID:Kga5magg 少なくとも、俺は、松坂くんみたいに粗探しを見つけてマウントを取るようなことはしてないからなｗｗ お前の定義にはこの視点が欠けているｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/124
125: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 19:26:42.97 ID:wmtU89WG 徘徊老人たち http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/125
126: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 19:31:51.28 ID:2rPgBRGS >>124 >115はそれにしか見えない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/126
127: １３２人目の素数さん [] 2025/09/07(日) 19:44:34.75 ID:Kga5magg >>126 それお前の感想な http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1752630816/127
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