[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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536(7): 05/21(水)18:28 ID:ER8eZebp(3/12) AAS
n次方程式f(x)=0のガロア群が巡回群のとき
１．解を一つ選び出し、これをs_0と表す
２．巡回群の生成元aを一つ選びだし、s0にaを反復適用してできた解をs_1,…,s_n-1と表す
３．１の原始ｎ乗根をrと表し、s_0,…,s_n-1の以下の線形結合をつくる
s_0+s_1+…+s_n-1=t_0
s_0+r*s_1+…+r^(n-1)*s_n-1=t_1
s_0+r^2*s_1+…+r^(2*(n-1))*s_n-1=t_2
…
s_0+r^(n-1)*s_1+…+r^((n-1)*(n-1))*s_n-1=t_n-1
４．このとき、上記のt_1〜t_n-1のn乗はガロア群で不変であることから、s_0〜s_n-1を使わず、四則演算とrを使って表せる
省5
539: 05/21(水)18:47 ID:ER8eZebp(6/12) AAS
補足
>>536では、t_1〜t_n-1がそれぞれn乗根で表せると書いたが（もちろん嘘でないが）
実際はt_2〜t_n-1は、t_1を使って表せるので、n乗根は一つでいい
541(3): 05/21(水)19:02 ID:I/FRxz61(9/11) AAS
>>536
3.の部分が、現代記法では
Σ_{σ∈G}χ(σ)(s_0)^σ
とあらわせる。Gは巡回群であり、χはGの指標、(s_0)^σはs_0へのσ∈Gの作用をあらわす。
このことが、「ちゃんとした本」には書いてあるはず。
これは、「方程式の根たち」= G上の"函数" を、Gの双対群である指標群上の函数
に写す"フーリエ変換"である という話をしたら
「そんなこと聞いたことない！（泣）」と発〇したのがセタさん。
653(1): 05/24(土)07:17 ID:bcNTDQwA(1/22) AAS
>>650
> 戻る
なら、495じゃなく、>>536な
> Lagrange resolventは面白いが、方程式を解くのに使える万能薬ではない
536 の冒頭に
「n次方程式f(x)=0のガロア群が巡回群のとき」
って書いてあるの、味がするまで黙読して噛みしめてな
（ for next 文で百回とか回数指定するんじゃなく、 do until 文で理解したという終了条件満たすまで、な）
> ガロア分解式 V = Aa+Bb+Cc+…
省15
665: 05/24(土)10:02 ID:bcNTDQwA(7/22) AAS
>>536で述べたような解法は、線形代数の応用、としては面白いけど、
代数方程式の解法としての実用性はない
競技プログラミングでいう●色コードみたいなもんよ
680: 05/24(土)15:46 ID:bcNTDQwA(13/22) AAS
>>674
>『複雑そうに見えるところをシンプルに理解する
> これが数学的な考え方の一つ』
その例として>>536読んでな
ここでの数学の要点は４．の
「…のn乗はガロア群で不変であることから、
s_0〜s_n-1を使わず、四則演算とrを使って表せる
したがって…は、基礎体の元とrで表された式のn乗根で表せる」
そこを理解することが数学な
そこを放擲するなら…数学捨てたってことな
省1
695(1): 05/24(土)21:00 ID:yEGoU5Ff(7/8) AAS
>>651
>「アーベル群の指標」を正しく用いれば、完璧に解けるはず。
古典理論の中に既に答えがあった。（高木貞治著『代数学講義』参照）
一般4次方程式の4つの根、x_1,x_2,x_3,x_4 に対して
S_4の正規部分群Vについての（一般化された）ラグランジュ分解式は
x_1+x_2+x_3+x_4, x_1+x_2-x_3-x_4, x_1-x_2+x_3-x_4, x_1-x_2-x_3+x_4
の4つ。最初の式はそれ自体対称式、残り3つはVの作用によって±1倍の違いが生じる。
したがって、その2乗たちはVの作用で不変で、係数体上のある3次方程式の根になる。
だから、まずこの3次方程式を解いて、その平方根から上の後者3つの量が得られる。
最初の一つは元の4次方程式の係数からそのまま得られる。
省1
713: 05/25(日)07:08 ID:WEnhjuaS(1/27) AAS
>>698
>繰り返すが、…ガロア理論は 方程式の次数や 可解か否かに関係なく
>(解くのに)使える万能薬である！
誤り
万能薬＝いかなる(代数)方程式も(べき根で)解ける
という意味なら、そうではないので嘘
解ける方程式は解ける、という意味なら同語反復なので無意味
もちろん、ガロア理論は、どんな(代数)方程式が(べき根で)解けるか
条件を示しているから意味がある
その条件が「ガロア群が可解群」
省15
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