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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/
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423: １３２人目の素数さん [] 2025/05/17(土) 14:58:08.85 ID:0l6LbjtF >>419 >”開集合（位相空間論）”には、突っ込めないのか？ >”岡の不定域イデアル ＆ カルタンの層 の思想”には、突っ込めないのかな？？ もっと基本的なことで突っ込むと >>403は、どうもおかしいので、 Copilotに尋ねたら、全然違うこといったぞｗ （引用始） Q.距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まる というけど、その証明は？ A.この主張は、連続関数の稠密集合上での値がその関数全体を決定することを述べています。 つまり、ある距離空間 𝑋 上の連続関数 𝑓:𝑋→𝑅 が、稠密な部分集合 𝐷⊂𝑋 上で一致しているならば、全体でも一致するということです。 証明の概要： 仮定: 𝑋 を距離空間とし、連続関数 𝑓,𝑔:𝑋→𝑅 が稠密集合 𝐷 上で一致しているとする。 つまり、任意の 𝑥∈𝐷 について 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) である。 目的: 全体 𝑋 において 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) を示す。 連続性の利用: 関数 ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) を定義すると、これは連続であり、稠密集合 𝐷 上で ℎ(𝑥)=0 となる。 稠密集合の性質: 𝐷 は稠密であるため、任意の点 𝑥∈𝑋 に対して、𝐷 内の点列 {𝑥𝑛} で 𝑥𝑛→𝑥 となるものが取れる。 連続性による極限: ℎ(𝑥𝑛)=0 より、ℎ(𝑥)=lim 𝑛→∞ ℎ(𝑥𝑛)=0 が成り立つ。 結論: 任意の 𝑥∈𝑋 について ℎ(𝑥)=0 が示されたので、すなわち 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) が全体で成り立つ。 この結果は、特に多くの数学的応用において重要であり、 例えば関数解析の分野では稠密部分集合上での情報から 関数を一意に決定する理論的背景として利用されます。 さらに、実解析や近似理論などでも活用されます。 こうした性質がなぜ重要なのか、深掘りしてみるのも面白いですね。 (引用終） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/423
427: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/17(土) 16:12:10.68 ID:y2zepp9J >>423 (引用開始) Copilotに尋ねたら、全然違うこといったぞｗ （引用始） Q.距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まる というけど、その証明は？ A.この主張は、連続関数の稠密集合上での値がその関数全体を決定することを述べています。 つまり、ある距離空間 𝑋 上の連続関数 𝑓:𝑋→𝑅 が、稠密な部分集合 𝐷⊂𝑋 上で一致しているならば、全体でも一致するということです。 証明の概要： 略す (引用終り) ふっふ、ほっほ おお！ 君の Copilotは 優秀だな！ ；ｐ） たしかに、>>414より google検索：定理 稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる 一様連続関数を完備化した空間に拡張する はてなブログ Branched Evolution https://evolite.はてなブログ.com › entry 2020/08/16 — 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる． これの 証明を読んでみると 中段に ”R の完備性より， {f(xn)} は収束し，その収束先は点列 {xn} のとり方によらないから， f^ を f^(x)=lim n→∞ f(xn) で定義できる． また，距離空間上の連続関数は稠密な部分集合上での値によって一意に決まるから，この拡張は一意的である．” とあるね なので、君の Copilotくんが正しそうだね（”一様連続”の条件を外せるかは ちょっと保留） >>403の "某多変数関数論の名誉教授をエスパー" は、ちょっとエスパー能力が足りなかったかな？ｗ ；ｐ） まあ、君にとっても良かったじゃないの？ 君の Copilotくんが優秀で、教えて貰らえてねｗｗ ；ｐ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/427
456: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/05/19(月) 14:45:56.37 ID:q68wgaXf >>449 裏話さらに追加 >>399より Q：”「実数から実数への連続関数は すべての有理数の点の上での値だけで特定できる」” この問題で、まず浮かんだ 典型例が よく知られた ディリクレの関数、トマエ関数など病的関数で （ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%97%85%E7%9A%84%E3%81%AA_(%E6%95%B0%E5%AD%A6) （上記wikipediaより”「病的な関数」の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが至る所微分不可能な、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある”） ディリクレの関数は、有理点で1、無理数点で0を取る関数で、いたるところ不連続 トマエ関数は、有理点で1/q (at p/q(既約分数))、無理数点で0を取る関数で、無理数点で連続で 有理点で不連続 さらに （下記）"Modifications of Thomae's Function and Differentiability"があって、これ旧ガロアすれで 取り上げたことがある（10年ほど前に） 下記は、要するに 有理点で1/q よりも 早く減衰する場合（例えば 2乗 (1/q^2) など）は、無理数点で微分可能にできる ということだ なので、今の場合に当てはめると、このような病的な場合を抑えるには 単なる連続では足りないのでは？ と思ったわけです （てっきり 病的な場合のヒッカケを警戒していたのだがｗｗ） その視点で、ちょっと検索すると >>414の”定理 稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる” ”はてなブログ Branched Evolution 2020/08/16 — 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる” がヒットしたので、”一様連続”が必要と思った次第 >>423の”Copilot”の証明など 全く信用するに足りないので （”Copilot”が、一様連続と （単なる）連続 の微妙な 機微を理解しているわけないからなぁ〜ｗｗ ；ｐ） なので、”Copilot”の証明を受けて 再度検索してみたが、和文では めぼしい文献がヒットしなかったのです そこで、>>442のように 英文で検索すると stackexchange がヒットして なるほどと思ったわけだ 余談>>428より ”匿名なので正直にぶっちゃけるが・・・ 正直、定理については知ってたが、証明は知らんかったｗ” ここは、こちらも 正直 その定理は初耳だったよ 和文の情報は なかなかヒットしなかったし 英文でも 下記の”Mathematical Statistics”の付録で ”(b) A continuous function is determined by its values on any dense subset of R (in other words: if D is a dense subset of R and if two continuous functions f,g are equal on D, then they must be equal on R, so f = g).” がヒットするくらいなのだ 勉強不足のいいわけだが、機会あれば 和書の実解析の本 チラ見してみるわｗ ；ｐ） 多分、日本だと 上記”距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる” のついでに教えているのかもね・・（少ない講義時間で 寄り道をしていると ”寄り道の多い数学”者 と言われるかもだろう ；ｐ） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/456
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