ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17

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414: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/17(土) 10:31:30.33 ID:y2zepp9J

>>403 追加
google検索：定理 稠密集合上での一様連続関数は一意に拡張できる

一様連続関数を完備化した空間に拡張する
はてなブログ Branched Evolution
https://evolite.はてなブログ.com › entry
2020/08/16 — 距離空間上に定義された一様連続関数は完備化した空間上の一様連続関数に一意的に拡張できる．

なお、藤岡敦 関西大学システム理工学部数学科
下記2011年 一橋大学時代か。これ 一橋大の講義か？ もしそうなら 一橋大 おそるべし（＾＾；
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/
藤岡敦 関西大学システム理工学部数学科
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/hit.html
２０１１年度 一橋大学時代のもの
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/ms/ms.html
２０１１年度冬学期「数理構造II」一橋大学時代のもの
　§１．Euclid 空間　１０月７日分資料（１０月７日修正版）
　§２．距離空間と位相空間　１０月１４日分資料（１０月７日版）
　§３．連続写像　１０月２１日分資料（１０月１４日版）
　§４．実連続関数　１０月２８日分資料（１０月２１日版）
　§５．完備性　１１月１１日分資料（１０月２８日版）
　§６．Dini の定理　１１月２５日分資料（１１月２５日修正版）
　§７．Ascoli-Arzela の定理　１２月２日分資料（１１月２５日版）
　§８．代数的構造　１２月９日分資料（１２月５日版）
　§９．Stone-Weierstrass の定理　１２月１６日分資料（１２月９日版）
　§１０．Urysohn の補題　１月６日分資料（１２月１６日版）
　§１１．Tietze の拡張定理　１月２０日分資料（１月６日版）
　§１２．コンパクト開位相　１月２７日分資料（１月２５日修正版）
https://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/ms/111111ms.pdf
２０１１年１１月１１日数理構造II（藤岡敦担当）授業資料1
§5. 完備性
実連続関数全体の集合は完備な距離空間と同様の性質をもつ.まず, 距離空間の完備性について述べよう.

さて, 実連続関数全体の集合について考えよう.定義 (X,O)を位相空間とし,C(X)の一様収束位相を考える.
{fn}をC(X)の点列とする. 任意のε>0に対しあるN ∈Nが存在し,n≥Nならばfn∈B(fN;ε)となるとき,{fn}n∈Nを一様Cauchy列とよぶ.
距離空間の場合と同様に,C(X)の一様収束する点列は一様Cauchy列であることが分かる.
また, Xがコンパクトなときは一様Cauchy列は距離空間(C(X),d)のCauchy列に他ならない.
次に示すようにC(X)は完備な距離空間と同様の性質をもつ.
定理 C(X)の一様Cauchy列は一様収束する.
証明
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/414

894: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/27(火) 10:16:37.33 ID:1caOziMJ

>>891-893

ふっふ、ほっほ
面白いね　面白いよ、君(>>891)の詭弁は(ワンパターンだが ｗ　；ｐ)

ID:XG7xdh9Lは、御大か
巡回ありがとうございます

さて、下記を追加しておく
アルティン ガロア理論入門の最後が、
作図問題への応用で締めくくられている

”例1．半径1の円に内接する正多角形を作図すること”
”2^2^k+1の形の数”、”素数3,5,17,257,65537”
が、ガロア理論の 単なる一つの系として わずか １ページ半で 終わる
ガウスが DAで 数百ページを費やした ほぼ頂点の定理が、ラグランジュ分解式を使わずにね　；ｐ）

ついでに、角の三等分と デロス島の問題（立方体の倍の量の作図）も 扱っている
アルティンは、ガロア理論の威力を示す好例だと思ったのだろう・・

(参考)
”ガロア理論入門 (1974年) 東京図書(株)　（いまだと ちくま学芸文庫にあるらしい）
アルティン (著), 寺田 文行 (翻訳)”
より

P108
ところが一方，作図とは関係なしに，その幾何学の問題自身から，作図し
たい量ξ1,ξ2,...,ξtの性質をよみとることはできる．そして2つの体Eと
Fの代数的な性貿を調べた結果，もし, (F/K)とか(E/K)が2のベキで
なかったならば，上に述べたことから，コンパスと定規による作図は不可能
となるのである．
定理47．作図問題において，a1,a2,…,arを与えられた量，ξ1,ξ2,...,ξt
を定めたい量とし, K = Q(a1,a2,…,ar)とする，このときξiがす
べてK上代数的で，ξ1,ξ2,...,ξtを含むK の最小の正規拡大体が2
のベキ次の拡大体であることが，この作翻問題がコンパスと定規で解け
るための必要十分な条件である．
証明
この条件が必要であることはすでに述べた。そこで(E/K)を2のベキである
以下略す

P109 （これが最後のページの一つ前）
例1．半径1の円に内接する正多角形を作図すること
Ptとしては2^2^k+1の形の数だけが問題になる．k＝0,1,2,3,4とすると
素数3,5,17,257,65537が得られるk=5のときばこの数は641で割り
きれる．現在のところ2^2^k+1の形の素数はこれ以上はみつかっていない．
とにかく以上から，正多角形がコンパスと定規で作図できるのは，nが
2^2^k+1の形の素数piを用いてn= 2^ν p1p2 ･･･prの形をしているときであ
る．正17角形の実際の作図は，なにがしかの書物でみることができる．

例2．角の三等分
略す

例3．デロス島の問題
アポロの神は，それまでの立方体状の祭壇
を，立方体状のままで倍の量にせよと要求された．
そこにある立方体の一辺
の長さを1としてξ＝2^(1/3)を作図しなければならない．これはK= Q,
F= Q(2^(1/3))の場合である．ところがx^3−2はQで既約であるから
(F/K)=3であり，そのような作図は不可能である．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746597368/894

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