[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ17 (1002ﾚｽ)
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857(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/26(月)18:04 ID:Ca1KD/GB(4/6) AAS
つづき
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Septic function (7次方程式)
Solvable septics
Some seventh degree equations can be solved by factorizing into radicals, but other septics cannot. Évariste Galois developed techniques for determining whether a given equation could be solved by radicals which gave rise to the field of Galois theory.
Septics are the lowest order equations for which it is not obvious that their solutions may be obtained by composing continuous functions of two variables. Hilbert's 13th problem was the conjecture this was not possible in the general case for seventh-degree equations. Vladimir Arnold solved this in 1957, demonstrating that this was always possible.[2] However, Arnold himself considered the genuine Hilbert problem to be whether for septics their solutions may be obtained by superimposing algebraic functions of two variables.[3] As of 2023, the problem is still open.
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Hilbert's thirteenth problem
google訳
ヒルベルトの第13問題は、1900年にダヴィド・ヒルベルトが編纂した有名なリストに記載されている23のヒルベルト問題のうちの1つである。この問題は、2変数の代数関数（変形：連続）を用いて、すべての7次方程式に解が存在するかどうかを証明することである。この問題は、ノモグラフィー、特に「ノモグラフィック構成」、すなわち2変数の関数を用いて多変数関数を構成する過程の文脈で初めて提示された。連続関数の変形は、1957年にウラジーミル・アーノルドがコルモゴロフ・アーノルドの表現定理を証明した際に肯定的に解決されたが、代数関数の変形は未解決のままである
導入
ウィリアム・ローワン・ハミルトンは、エーレンフリート・ヴァルター・フォン・チルンハウス（1683年）、エルランド・サミュエル・ブリング（1786年）、ジョージ・ジェラード（1834年）によって開拓された方法を用いて、1836年にすべての7次方程式が根号によって次の形に簡約できることを示した。
×7+a×3+b×2+c×+1＝0
この方程式に関して、ヒルベルトは、その解xを 3 つの変数a、b、c の関数として考えたとき、有限個の 2 変数関数の 合成として表現できるかどうかを問いました
歴史
アーノルドは後に志村五郎と共同で、この問題の代数バージョンに戻りました(Arnold and Shimura 1976)
(引用終り)
以上
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