面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (300ﾚｽ)
面白い数学の問題おしえて～な 44問目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/
上
下
前
次
1-
新
通常表示
512ﾊﾞｲﾄ分割
ﾚｽ栞
ﾘﾛｰﾄﾞ規制
です｡10分ほどで解除するので､
他のﾌﾞﾗｳｻﾞ
へ避難してください｡
1: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/01(木) 12:31:40.74 ID:gmHMkXUG 面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです 質問スレではありません 出題者が答えを知らない問題はお控えください 統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です 荒らし、煽りはスルー推奨 前スレ 面白い数学の問題おしえて～な 43問目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696639819/ まとめwiki http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/1
270: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 14:25:45.20 ID:RysJSoA6 方程式 x^(2k+1)-nx+1=0 の持つ実数解を、小さい順にa[1],a[2],...a[m]とする。これらm個の実数解の中央値をf(k,n)とする。 極限 lim[n→∞] f(k,n) を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/270
271: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/29(金) 16:07:20.21 ID:51ikz61b 「f : W → 2^S の W(500) への制限が単射のとき f の W(1)～W(500) への制限がすべて単射」がいえたとしてもせいぜい「毒入りワインの本数と試験奴隷人数の最小値を与える関数が広義単調増大」しかいえない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/271
272: １３２人目の素数さん [] 2025/08/29(金) 16:17:04.08 ID:itPlGYv3 (2k+1)x^2k-n=0 x=±(n/(2k+1))^(1/2k) 0^(2k+1)-0+1>0 1^(2k+1)-n+1<0 0<f(n,k)<1 f(n,k)^(2k+1)+1=nf(n,k) limf(n,k)=lim(f(n,k)^(2k+1)+1)/n=0 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/272
273: １３２人目の素数さん [] 2025/08/29(金) 19:15:05.63 ID:wapwkLPP n=6本(毒入り3本)まで絨毯爆撃してみたが n-2人以下でできないのは当然として n-1人でも1本ずつ飲む以外の解はないようだ 6本(毒入り4本)とか8本(毒入り4本)以上は俺のPCでは死ぬ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/273
274: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/30(土) 14:17:15.37 ID:kaOtwNfL >>265 ヒント続き （証明） k<500 かつ A,B∈W(k) が互いに異なる時 |W/(A∪B)| = 1000 - |A| - |B| + |A∩B| ≧ 1000-2k > 500-k より、AともBとも共通部分を持たない C⊂W s.t. |C|=500-k がとれる。 もし f(A)=f(B)と仮定すると、 f(A∪C) = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B∪C) となるが、これはW(500)に属する異なる集合 A∪C と B∪C による f の像が等しいことを意味し、f のW(500)への制限が単射であることと矛盾する。 ゆえに f(A)≠f(B). （終わり） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/274
275: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/30(土) 15:44:07.13 ID:HfVP711t 方程式 x^(2k+1)-nx+1=0 の持つ実数解を、小さい順にa[1],a[2],...a[m]とする。 （1）nが十分大きいとき、mをkで表せ。 （2）各整数i（i=1,2,...,m）に対して、 極限lim[n→∞] a[i] を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/275
276: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 17:24:23.61 ID:SzW44Fp8 aとbを整数とし、方程式x^3+ax+b=0が3つの異なる整数解をもつとする。 このとき、bの偶奇を判定せよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/276
277: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/30(土) 18:28:46.27 ID:2/v7Mp9d αβγ≡1 ( mod 2 ) → a+b+c ≡ 1 ( mod 2 ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/277
278: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 18:56:09.11 ID:SzW44Fp8 お見事です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/278
279: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 18:56:43.70 ID:fWoX7QGu (2k+1)x^2k-n=0 x=±(n/(2k+1))^(1/2k) 0^(2k+1)-0+1>0 n>2 1^(2k+1)-n+1<0 m=3 lim a[1]=-∞ lim a[2]=0 lim a[3]=∞ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/279
280: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 19:01:23.80 ID:fWoX7QGu >>277 >αβγ≡1 ( mod 2 ) なんで？ α+β+γ=0 では？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/280
281: １３２人目の素数さん [] 2025/08/30(土) 19:02:25.77 ID:fWoX7QGu ああそうか 意図分かった http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/281
282: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/31(日) 18:56:12.09 ID:QaV2l/9l >>274 ヒント続き （今更だけど「/」は差集合。＼と間違えたけどこのまま進めます。ごめんちょ） Wの部分集合A,Bが A⊂B でも B⊂A でもなく、|A|, |B| ≦ 500 を満たすならば、f(A)≠f(B). （証明） |A|=|B|の時は証明済み。 |A|<|B|として一般性を失わないのでそのように仮定する。 0 < |A/(A∩B)| < |B/(A∩B)| より、集合 B/(A∩B) から任意に |B|-|A| 個の元を選んでその集合をCとおくと、 A':=A∪C は A⊂A'⊂B、 |A'|=|B|、 0<|A'/(A'∩B)| (すなわち A'≠B) を満たす。 f(A)=f(B) と仮定すると f(A') = f(A)∪f(C) = f(B)∪f(C) = f(B) より、f の W(|B|) への制限の単射性に反する。 （終わり） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/282
283: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/31(日) 19:56:08.47 ID:hUOxpuc6 要するに V、S:有限集合 f:S→2^V ♯V>♯S ∀w∃s w∈f(s) → ∃A,B s.t. ♯A=♯B=⌈♯W/2⌉ {s;f(s)∩A≠Φ} = {s;f(s)∩B≠Φ} A≠B を示せばいいんだよな 示せたと思うけど今サウナ泊まりに来ててパソコンないからかけない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/283
284: １３２人目の素数さん [sage] 2025/08/31(日) 21:44:05.05 ID:QaV2l/9l >>282 誤 A⊂A'⊂B 正 A⊂A' http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/284
285: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/09/01(月) 10:48:17.33 ID:bD/AUJQV >>259 三人で一人三本ずつ飲むと、 たとえばA,B,C,D,E,Fのワインを、 太郎がA,Bを、 次郎がC,Dを、 花子がE,Fを飲んだと. これだと二人死んだらだめだ. ところが三人が飲むワインを一つずつずらし、 太郎がA,B,Cを、 次郎がB,C,Dを、 花子がC,D,Eを飲んだら、 わかる. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/285
286: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/01(月) 14:45:50.94 ID:FRAqeS7G △ABCの形状がいろいろ変化するとき、sinAsinBsinCの最大値を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/286
287: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 13:47:57.37 ID:y/H4brb4 △ABCの形状がいろいろ変化するとき、sinAsinBsinCの最大値と、cosAcosBcosCの最大値は一致するか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/287
288: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 15:07:15.31 ID:jTpZzzZq >>286-287 高校数学で解けるのな 二次関数に帰着させるか、相加・相乗平均を使うか 3つの角のsinとcosの和と積の最大 https://examist.jp/mathematics/trigonometric/sankakukeikaku-waseki/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/288
289: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:48:58.14 ID:fZOAs2Xe 以下有限グラフ G = (V,E) とは 有限集合 V と V の2元集合の組とする。よって G はループや多重辺を含まない。以下 「G から辺 {v,w} を取り除いたグラフ(G＼{{v,w}} と表す)」、「頂点 v と w を同一視して得られるグラフ(G/<v = w> と表す)」などの記述をもちいるが細かく規定せず多少の不正確な記述を適宜みとめ読者のエスパー力に期待するものとする。 グラフ G の頂点 x に対して x を端点とする辺の数を x の分岐数とよび μ(x) とかく。G の k 次ベッチ数を βₖ(G) と表す。Euler の定理より #V - #E = β₀(G) - β₁(G) である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/289
290: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:49:12.90 ID:fZOAs2Xe 補題 任意の有限木 G について以下のいずれかが成立する。 (1) #G ≦ 2 (2) ある部分グラフの対 H,K で H∩K が一点、H が A₃ と同型であるものが存在する。 (∵) 容易。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/290
291: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:49:28.95 ID:fZOAs2Xe 補題 任意の連結有限グラフ G について以下のいずれかが成立する。 (1) G は木である。 (2) 任意の点の分岐数は 2 である。 (3) 端点を共有する辺 e, f で G＼{e} は非連結、G＼{f} が連結である。 (4) 端点を共有する辺 e, f で G＼{e, f} が連結である。 (∵) 任意の点の分岐数は 2 以下ならば (1),(2) が成立する。よって (1),(2) を満たさず、かつ (3) が成立しないならある分岐数 3 以上の点 v が存在して v を端点とする任意の e に対して G＼{e} が連結となる。e, f, g が v を端点とする辺とする。e = {v,x}、f = {v,y}、g = {v,z} とする。 G＼{e, f} が非連結とし G＼{e, f} = H ∪ K を非交叉和で H が z を含む連結成分とする。H が x を含めば H ∪ K ∪ {e} と H ∪ K の連結成分数は同じでなければならないが、前者は 1、後者は 2 以上だから矛盾する。よって x は K の元である。同様にして y も K の元である。G＼{g} は連結だから z と v を結ぶ G＼{g} の path が存在するが、その path は e,f を通過できない。よって z と v を結ぶ G＼{g,e} の path が存在する。一方 x と y を結ぶ K の path に f をつなげると x と v を結ぶ G＼{g,e} の path となる。よって G＼{g,e} は連結である。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/291
292: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:50:58.73 ID:fZOAs2Xe 以下頂点の集合 A ⊂ V に対して S(A) := { e∈E ; e∩A ≠ ∅ } と定める。 補題 G = (V,E) が頂点数 n = #V ≧ 2 の連結有限グラフとする。⌈(n + β₁(G))/2⌉ ≧ n であるか、または相異なる頂点の集合 A,B で #A = #B = ⌈(n + β₁(G))/2⌉, S(A) = S(B) = V となるものがとれる。 (∵) 最小反例で前補題の条件を満たすものが存在しないことを示せばよい。 (i) #V = 2,3 のとき。V = {u,v} のときは A = {u}, B = {v}、V = {u,v,w} のときは A = {u,w}, B = {v,w} とすれば条件をみたすから反例となりえない。 (ii) 部分グラフ H と {x,y,z} ⊂ G で {x,y},{y,z} ∈ E、{x,z} ∉E、H ∩ {x,y,z} = {x} のとき。G が最小反例だから ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉ ≧ n-1 であるか A’, B’ ⊂ H で #A’ = #B’ = ⌈(n-2 + β₁(G))/2⌉、S(A’) = S(B’) = H が成立する。前者は容易に矛盾する。後者のときは y ∈ A’ なら A = A’∪{x}、そうでなければ A = A’∪{y} とし y ∈ B’ なら B = B’∪{z}、そうでなければ B = B’∪{z} とすれば条件をみたすから反例となりえない。 (iii) G が (2) を満たすとき。V = {x₁, x₂, ... ,xₙ}, E = {{x₁,x₂}, {x₂, x₃},...,{xₙ, x₁}} としてよい。n が偶数のときは A = {xₖ ; k odd}∪{xₙ}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たし、n が奇数のときは A = {xₖ ; k odd}、B = {xₖ ; k even}∪{x₁} が条件を満たすから反例となりえない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/292
293: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:51:03.77 ID:fZOAs2Xe (iv) G が(3) を満たすとき。e = {x,y}、f = {y,z} とする。G’ = ( V/<x=y>, E＼{{y,z}} ) とする。G が最小反例だから ⌈(n-1 + β₁(G)-1)/2⌉ ≧ n-1 であるか A’, B’ ⊂ G’ で #A’ = #B’ = ⌈(n-1 + β₁(G)-1)/2⌉、S(A’) = S(B’) = G’ が成立する。前者は容易に矛盾する。後者のときは y ∈ A’ なら A = A’、そうでなければ A = A’∪{y} とし y ∈ B’ なら B = B’、そうでなければ B = B’∪{y} とすれば条件をみたすから反例となりえない。 (v) G が(3) を満たすとき。e = {x,y}、f = {y,z} とする。G’ = ( V, E＼{{x,y},{y,z}} ) とする。G が最小反例だから ⌈(n + β₁(G)-2)/2⌉ ≧ n であるか A’, B’ ⊂ G’ で #A’ = #B’ = ⌈(n + β₁(G)-2)/2⌉、S(A’) = S(B’) = G’ が成立する。前者は容易に矛盾する。A’ が y を含まないときは a = y、そうでないときは a ∈ V＼A’ を任意に選ぶ。B’ に対して同様に b を選ぶ。A’∪{a} = B’∪{b} でないときは A = A’∪{a}、B = B’∪{b} が条件を満たす。A’∪{a} = B’∪{b} であるときは a≠y または b≠y である。a≠y ならば y∈ A’ であり # B’∪{b} ≦ n-1 であるから a’∈V＼B’＼{b} を選んで A = A’∪{a’}、B = B’∪{b} が条件を満たすから反例となりえない。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/293
294: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:51:16.05 ID:fZOAs2Xe 以下記号の定義を再掲する。W, S は有限集合、f : S → 2^W は写像で A ⊂ W に対して S(A) = { s ; f(s)∩A ≠ ∅ } とする。さらに (※) 任意の A≠∅ に対して S(A)≠∅ とする。 (W : ワインの集合、S : 奴隷の集合、f(s) : 奴隷 s が飲むワインの集合、S(A) : A に毒をいれたときの犠牲者の集合であり、(※) は「すべてのワインはいずれかの奴隷が必ず試飲する。に相当する。) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/294
295: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:51:44.42 ID:fZOAs2Xe 補題 (※) n = #W > #S であるとき W の相異なる部分集合 A,B が存在して次を満たす。 (1) #A = #B = ⌈ #W/2 ⌉ (2) S(A) = S(B) (∵) S₁ = { s∈S | #f(s) = 1 } とおく。W を最小反例とする。 #S₁ = 0 とする。すべての s について #f(s) ≧ 2 である。各 s について f(s) から２元集合 e(s) = {p(s), q(s)} ⊂ f(s) を選んでグラフ (W,E) = (W, {e(s) ; s∈S} ) を考える。グラフはe(s) の選び方で任意性があるが、この中でその一つの連結成分 G₀ = (W₀, E₀) の点の数が最大となるものをとる。このとき任意の s に対して e(s) が G₀ の辺でないなら #E₀ の最大性から f(s) は G₀ と共通元をもたない。すなわち任意の s に対して e(s) が G₀ の辺であるか、もしくは f(s) と W₀ は互いに素となる。 n₀ = #W₀ とする。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/295
296: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:52:33.87 ID:fZOAs2Xe ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≧ n₀ のとき。容易に n₀ + β₁(G₀) ≦ 1 + #S ≦ n だから n₀ ≦ ⌈n/2⌉ である。よって A₀,B₀ ⊂ W、C ⊂ W ＼ W₀、 #A₀ = #B₀ = n₀ - 1、#C = ⌈n/2⌉ - n₀ + 1 となる相異なる A₀, B₀, C をえらぶ。A = A₀∪C、B = B₀∪C とすれば S(A) = S(A₀)∪S(C) = W₀∪S(C)、 S(B) = S(B₀)∪S(C) = W₀∪S(C) だから条件が成立する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/296
297: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:53:26.73 ID:fZOAs2Xe ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ < n₀ のとき。補題から #A₀ = #B₀ = ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉、S(A₀) = S(B₀) = W₀ となる相異なる A₀, B₀ がとれる。このときさらに C⊂W ＼ W₀ を #C = ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ となるようにとれる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/297
298: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:53:30.77 ID:fZOAs2Xe (∵ ⌈n/2⌉ - ⌈(n₀ + β₁(G₀))/2⌉ ≦ n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 より n/2 - (n₀ + β₁(G₀))/2 + 1/2 ≦ n-n₀ であれば十分だが、これは 1+n₀ ≦ β₁(G₀) + n と同値である。これが成立しないのは n₀ = n、β₁(G₀) = 0 の場合のみである。しかしこのときは C = ∅ とすればよい。) よって A = A₀∪C、B = B₀∪C とすればよい。 以上により #S₁ = 0 である最小反例はない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/298
299: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/02(火) 17:53:49.19 ID:fZOAs2Xe #S₁ > 0 とする。s₀ ∈ S₁ をえらんで f(s₀) = {w₀} とおく。S’ = S＼{s₀}、W’ = W＼{w₀} とし f’(s) = f(s)＼{w₀} とする。W が最小反例だから W’ の相異なる部分集合 A’,B’ で (1) #A’ = #B’ = ⌈ #W’/2 ⌉ (2) S(A’) = S(B’) となるものがとれる。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ なら A = A’、B = B’ とすれば S(A) = S(A’)、S(B) = S(B’) となり矛盾する。⌈ #W’/2 ⌉ = ⌈ #W/2 ⌉ - 1 なら A = A’∪{w₀}、B = B’∪{w₀} とすればS(A) = S(A’)’∪{s₀}、S(B) = S(B’)’∪{s₀} となり矛盾する。 □ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/299
ﾒﾓ帳
(0/65535文字)
上
下
前
次
1-
新
書
関
写
板
覧
索
設
栞
歴
あと 1 ﾚｽあります
ｽﾚ情報
赤ﾚｽ抽出
画像ﾚｽ抽出
歴の未読ｽﾚ
AAｻﾑﾈｲﾙ
Google検索
Wikipedia
ぬこの手
ぬこTOP
0.020s