任意の代数方程式を解く方法を発見した (15ﾚｽ)
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1: 02/07(金)18:08 ID:IRK/zrmY(1/3) AAS
Kを体とする
n次多項式
X^n + a1 X^{n-1} + ... + an
の根は、n次正方行列
0 0 0 ... 0 -an
1 0 0 ... 0 -a{n-1}
0 1 0 ... 0 -a{n-2}
...
0 0 0 ... 1 -a1
2: 02/07(金)18:10 ID:IRK/zrmY(2/3) AAS
永田雅宜「理系のための線型代数の基礎」という本の、最初の章の複素数の構成を読んで思いつきました
手元で計算したところ、n = 3まではあっています
3: 02/07(金)18:11 ID:IRK/zrmY(3/3) AAS
今わかりました
ケーリーハミルトンを使えば、すべてのnに対して正しいことが証明できます
4: 02/07(金)18:18 ID:3tDz1Zdz(1) AAS
任意の基底変換行列Pに対して、
f(PXP^(-1)) = Pf(X)P^(-1)なので、
この解は、無限に作れます
すごい
5: 02/07(金)19:04 ID:XeyKJTo6(1) AAS
整域じゃないじゃん
6: 02/07(金)19:29 ID:82CepQXL(1) AAS
タイでもない
7: 02/07(金)19:32 ID:fcB203qi(1/2) AAS
カンボジアかもしれない
8: 02/07(金)19:36 ID:RaVdnpwB(1) AAS
可換ですらない
9: 02/07(金)21:18 ID:fcB203qi(2/2) AAS
複素数なら解けるだろ
10: 02/07(金)21:57 ID:iG/23pqT(1) AAS
ニュートン法を使えばいいだろう
11(1): 02/08(土)11:33 ID:UZUtaH54(1) AAS
コーシー完備化みたいに、ニュートン法の数列全体を考えたらどういう数体系が得られる？
12: 03/01(土)02:06 ID:a3dnhqXh(1) AAS
任意のｎ次代数方程式F(x)=0は、複素数の範囲に根が存在するから、
それをひとつとってaとすると、F(x)は一次因子(x-a)で割り切れることが示せる。
よって商である多項式G(x)=F(x)/(x-a）を考えると、これはn-1次の多項式であり、
方程式G(x)=0はn-1次方程式である。よって、それもまた複素数の範囲で根を持つ
から、。。。。結局F(x)はｎ個の（重複を許した）一次因子の積の形に分解される
ことがわかる。つまり重複を許してちょうどｎ個の複素根を持つ。
13: 03/01(土)03:18 ID:hf0tGx0b(1) AAS
>>11
勾配流の大域解析って感じ？
14: 03/01(土)08:44 ID:9raJzBu5(1/2) AAS
数値解析すればいくらでも正確な数値解が求まる
ガウスが代数学の基本定理で証明した通り
あああ、アホクサ
15: 03/01(土)08:48 ID:9raJzBu5(2/2) AAS
ちなみに1で示してるのは行列環の中での根
さらにこの行列の固有値はすべて代数方程式の根
ま、頑張ってｗ
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