抽象化で証明できる命題は増えないだろ (52ﾚｽ)
上下前次1-新
1(2): 02/05(水)02:23 ID:2fuJevgW(1) AAS
だから無意味
23: 02/06(木)12:36 ID:I7ERx3/l(2/4) AAS
自明なものは無しで。
24(1): 02/06(木)12:40 ID:GddeoWbS(1) AAS
>>22
それが存在するって前提はどこからきたん？
具体的構成なしに存在を信じてるん？
25(1): 02/06(木)12:41 ID:I7ERx3/l(3/4) AAS
>>24
選択公理がなければ全てのベクトル空間に基底が存在するとは言えないので。
26(1): 02/06(木)12:45 ID:ZwLJiPr5(1) AAS
>>25
すまん、バカ確定や
存在証明がないことと不存在が証明できることの違いもわからんとか
27: 02/06(木)12:48 ID:I7ERx3/l(4/4) AAS
>>26
全てのベクトル空間に基底が存在することが机上の空論であることと、最早基底が存在しないベクトル空間について語ることをやめることに、何か違いはありますか？
28(1): 02/07(金)17:21 ID:bTP/cVKd(1/6) AAS
>>20
具体的すぎると帰納法が回らないことがある。
ゆえに、抽象化は無意味ではない。
帰納法が回るところまで抽象化した時点で、
それ全体を具体的と見なせば「具体的に証明できる」
とも言えるが、それは詭弁。
29: 02/07(金)17:48 ID:bTP/cVKd(2/6) AAS
抽象化に意味がある理由その2。
少ない公理数で済むように抽象化した方が、
変形理論が作りやすい。
2chｽﾚ:math
30: 02/07(金)17:54 ID:bTP/cVKd(3/6) AAS
たとえば群論。
群論では、やたらと群の変形が行われる。
具体的には、(G_λ｜λ∈Λ) という群の族があったときに、
その族から新しい群 G を作る、という操作が頻発する。
そのような変形が可能である理由の1つは、
群の公理で要求されるチェック項目が少ないから。
もし群の公理がポンコツでチェック項目が多かったら、
G_λから作った G はチェックを通らずに「群になってない」
という失敗が起きやすくなる。
抽象化の利点はここにある。抽象化した方が変形理論が作りやすい。
31: 02/07(金)18:05 ID:bTP/cVKd(4/6) AAS
>>1の主張は
「抽象化で証明できる命題は増えないだろ。だから無意味」
というものだが、これ自体にもツッコミどころが2つある。
32: 02/07(金)18:09 ID:bTP/cVKd(5/6) AAS
ツッコミどころ1。
抽象化した道具の、その道具自体を前提とした命題は、
命題の文章の中に「その道具」が埋め込まれているのだから
それ以上具体化できない。つまり、抽象化で証明できる命題が増えている。
具体例。「任意の群において、その群の単位元は一意的である」が、
この命題は群そのものに関する言及なのだから、
群という抽象化を封印した状態では、そもそもこの命題が記述できない。
33: 02/07(金)18:14 ID:bTP/cVKd(6/6) AAS
ツッコミどころ2。
抽象化で証明できる命題が増えかったとしても、
「だから無意味」とはならない。
抽象化した方が数学的な道具が増えて、命題を証明するときの難易度が下がる。
抽象化を封印した縛りプレイで難易度を上げる意味がない。
プログラミングで言えば、人間が扱うプログラミング言語は
最終的には機械語に翻訳されて実行されるわけだが、
「だから機械語だけでいい。高級言語は無意味。
みんな機械語だけでプログラミングしろ」
省1
34: 02/09(日)21:19 ID:TmPaTxYs(1) AAS
浅い理解だなあ……(・_・)
35(1): 02/09(日)21:23 ID:wiMZxkRo(1) AAS
>>1
実数だけでガロア対応を証明してみて
まず定式化するところから始めてね、もちろん群や体などの抽象概念は使っちゃだめよ
36: 02/10(月)21:13 ID:s+BwhYmn(1) AAS
>>35
ガロア対応を証明とは？
37(1): 02/11(火)00:21 ID:wrNcjaS0(1) AAS
>>28
帰納法が回らないという意味がよく分からんが
例えばn=10の場合を証明したければn=1から順にn=10まで全部書けばいい
38(1): 02/11(火)02:26 ID:a715F0Tt(1/5) AAS
>>37
ファン・デル・ヴェルデンの定理：
任意の自然数 k, l に対して、自然数 n(k, l) が存在して、
連続する n(k, l) 個の自然数をどのように k 色に塗り分けても、
同色で長さが l の等差数列が存在する。
この定理は帰納法で証明できるが、安直に帰納法を適用するなら、
・ k,l に対する二重帰納法を使う
・ n＝k＋l として、nに対する帰納法を使う
などの方法が挙げられる。だが、これらの方法は失敗する。
帰納法が上手く回らないのである。
39: 02/11(火)02:32 ID:a715F0Tt(2/5) AAS
ファン・デル・ヴェルデンの定理の証明は色々あるが、
帰納法が回るように定理の内容を大幅に抽象化しなければならず、
どう抽象化すればいいのかが腕の見せどころになる。
グラフ理論の言葉で書き換えて抽象化した上で帰納法を使ったり、
あるいは Hales–Jewettの定理 のような拡張の仕方もある。
もともとの定理から離れすぎない抽象化の仕方は wiki に載っていて、
もともとのパラメータ「 k, l 」とは異なる方向性からの
3つのパラメータが導入されて、3重帰納法の様相を呈している。
40: 02/11(火)02:46 ID:a715F0Tt(3/5) AAS
なぜ>>38の形のままでは帰納法が回らないのか？
それは、定理の内容が具体的すぎて、「変形理論」の構築に失敗するからだ。
なぜ大幅に抽象化すると帰納法が回るようになるのか？
それは、抽象化すると「変形理論」が作りやすいからだ。
41: 02/11(火)02:47 ID:a715F0Tt(4/5) AAS
変形理論の構築に失敗していると、少し変形しただけでも、
変形前のフレームワークから はみ出てしまう。帰納法の場合、
そこで帰納法の前提に帰着できないことになるので、失敗に終わる。
42: 02/11(火)02:49 ID:a715F0Tt(5/5) AAS
変形理論の構築に成功していると、変形したあとでも、
変形前と同じフレームワークに収まる。帰納法の場合、
そこで帰納法の前提に帰着できることになるので、成功する。
43: 06/22(日)22:27 ID:2CwzH8ni(1) AAS
全ての定理や補題には、その成立に
選択公理を仮定しているか否かを
明記すべきだな。
44: 06/23(月)19:15 ID:BtVcNGxY(1) AAS
抽象化で一見別の分野の内容だと思われて
いたものが、統一的に理解されるならば、
証明や定義や構成のリストラクチャーを
招き、書物の数と記述の量を節約しうる
ものである。デジタルならば参照リンク
だらけの本とか。
45: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 06/24(火)04:35 ID:ozQWczEK(1/5) AAS
反証があるから偽なりなのではなく反証があるから真なりなのかもな。数学は根本的に多数決の原理とは違うほうが堕落しない。
46: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 06/24(火)04:37 ID:ozQWczEK(2/5) AAS
論理抽象操作などは不思議な世界だよ。嘘かもしれないけど存在が出てきたりする。
47: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 06/24(火)04:39 ID:ozQWczEK(3/5) AAS
アンチ問題とかもよく考えてみたほうが良いと思う。敵が多く反論が多いことはなんなんだろうか。
48: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 06/24(火)04:40 ID:ozQWczEK(4/5) AAS
大多数が否定するものは価値が高いのでは。
49: 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ 06/24(火)04:42 ID:ozQWczEK(5/5) AAS
存在を賭けているような埋もれてしまった真理が好きだ。
50: 06/28(土)23:49 ID:Qlqh+TEx(1) AAS
高度に進化した学問の深い体系は、
大災害などで一端絶滅してしまう
と、それを再び元のレベルに復興
するのが難しいかもしれない。ま
た再度立ち上がった文明は、別の
同じではない理論体系を生みだし
ているかもしれないな。
51: poem 08/29(金)14:30 ID:IRX2U7N+(1) AAS
具体を
2chｽﾚ:math
↓抽象化した
2chｽﾚ:math
完成
52: poem 08/31(日)00:35 ID:O81pnbro(1) AAS
これを読んで数学者の常にやってる研究を知る→｢新しい数発見して世界驚かせようぜ！｣←新しい論法を研究してるのが数学者
2chｽﾚ:math
↓参考追記物理板
9 poem 225/08/30(土) 13:37:41.14
一言言います
適当な名言です
｢無秩序なごった煮は陰謀論者と同じかも｣
｢陰謀を働く学問は一つ巴ではないのじゃ｣
2chｽﾚ:sci
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