[過去ﾛｸﾞ] 数学の本 第98巻 (1002ﾚｽ)
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380: 2024/06/15(土)17:31 ID:OzBDnxCU(5/10) AAS
H. L. Royden著『Real Analysis Third Edition』
証明は分かりやすいといえば分かりやすいのですが、クセが強いです。
例えば、↓のような感じです。
A を高々可算な集合とする。
A の有限列すべての集合は可算集合である。
証明：
(1) A は高々可算であるから N の部分集合との間に全単射が存在する。
(2) 高々可算な集合の部分集合は高々可算である。
よって、N の有限列すべての集合 S が可算であることを示せばよい。
N から N ∪ {0} の有限列すべての集合への写像 f を以下で定義する。
f(1) := <0>
n = 2^{x_1} * 3^{x_2} * … * p_k^{x_k}、 x_k ≠ 0 であるとき、
f(n) := <x_1, x_2, …, x_k>
f は明らかに単射であるから、 f(N) は可算集合である。
明らかに、 f(N) は S を含む。
可算な集合の部分集合は高々可算であり、明らかに S は無限集合であるから、 S は可算集合である。
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