≪ 哲学的ゾンビ ≫について 5 (492ﾚｽ)
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483: 考える名無しさん [age] 2025/05/06(火) 13:23:54.90 ID:0(483/492) AA×


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483: 考える名無しさん [age] 2025/05/06(火) 13:23:54.90 ID:0 問題 : ³√2 の有理数 ℚ上の最小多項式、P(x)を求めよ まず、α = ³√2 と置き、両辺を3乗すると、α³ = 2 よって、P(x) = α³ - 2 = 0 P(x)をℚ上可約と仮定すると、P(x) は、(1次)×(2次)の形に因数分解出来るので、 (x - α) (α ∈ ℤ) を因数として持つ。よって、P(α) = 0 すなわち、P(x) = α³ - 2 は整数解αを持つ。しかし、α³ - 2 = α²(α) = 2 において、2の約数は±1, ±2 なので、α = ±1, ±2 となる。だがα = ±1, ±2 を P(x) = α³ - 2 = 0 に代入すると、P(1) = -1 ≠ 0, P(-1) = -3 ≠ 0, P(2) = 6 ≠ 0 , P(-2) = -10 ≠ 0となり、それぞれP(x) = 0 と矛盾する。 よって、P(x) = α³ - 2 は ℚ上既約であり、かつ、ℚ上の最小多項式で あり、モニックでもある。 http://lavender.5ch.net/test/read.cgi/philo/1742393757/483
問題 の有理数 上の最小多項式を求めよ まず と置き両辺を乗すると よって を上可約と仮定すると は次次の形に因数分解出来るので を因数として持つよって すなわち は整数解を持つしかし においての約数は なので となるだが を に代入すると となりそれぞれ と矛盾する よって は 上既約でありかつ上の最小多項式で ありモニックでもある

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