大学数学の出題スレ (214ﾚｽ)
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91(1): 03/24(火)21:19 ID:VtAuF6Lz(1) AAS
補題
∀ Y:top.sp. ∀f : X →Y ( f|A : cont. ∧ f|X＼A : cont. ⇒ f : cont. ) ⇒ A : open

(∵) A が開集合でないとする。 Y = {0,1} に離散位相をいれて f: X →Y を f(x) = 0 ( if x∈A) or f(x)=1 ( if x∉A) と定める f|A も f|X＼A も定数だから連続である。しかし 開集合{1}の引き戻し f⁻¹(0) は A であるがこれは開集合でないからf は連続ではない。よって矛盾□

主張
∀ Y:top.sp. ∀f : X →Y ( f|A : cont. ∧ f|X＼A : cont. ⇒ f : cont. )
iff
A は open かつ closed

(∵) ⇒ は前補題。A は open かつ closed とし、Y:top.sp. と f : X →Y を f|A : cont. ∧ f|X＼A : cont. ととる。Y の open U をとる。このとき f|A⁻¹(U) = f⁻¹(U) ∩ A は A の open。ここで A は open だから f⁻¹(U) ∩ A は X の open。同様に f|X＼A⁻¹(U) = f⁻¹(U) ∩ X＼A も X の open。よって主張を得る。□

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92: 03/24(火)21:30 ID:Pnghket/(1) AAS
>>91
ご明察です
つまりXが2つの位相空間の直和になる場合に限るというわけですね

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