[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 87 (1002ﾚｽ)
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686(15): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 03/07(土)23:59 ID:LGV/CWno(7/7) AAS
>>462 戻る
（ニコ） (^^)君さ 宿題できたか？
おれが 証明書くから 赤ペンしてくれ
（前振り）
>>458
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tohoku.ac.jp
東北大 R8年度院試
数学 共通問題令和7年8月21日
2
”(2) Z をハウスドルフな位相空間とし，Wを位相空間とする．f:Z→Wは全射であ
省49
687(1): 03/08(日)00:06 ID:7z73EiIZ(1/4) AAS
>>686
本来やる勉強を放ったらかしにして、他のスレに書くこと絞り出してるんですけどね(^^)
大学数学のスレで、危うく絡まれるとこでしたけどねw
688(1): 03/08(日)00:13 ID:7z73EiIZ(2/4) AAS
>>686
赤筆はトイレさんにでもお任せします。
AI使って何とかして下さい。
（東北大の大問の最後は、基本捨て問だと思うのでパスします。共通問題は、頑張らないとダメかもしれませんが…。）
689: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 03/08(日)00:14 ID:I4WT0RHF(1/20) AAS
>>686 タイポ訂正
これを a'mまで繰り返すと、和集合をUBmができる
↓
これを a'mまで繰り返すと、和集合UBmができる
追記
>注：＊ ちょっと略したが まあ 時間がないときは この程度でお茶濁すのもありだろう。証明を最後まで書き切ることを優先する
まあ、”明らかに （＊ちょっと略している）”
の部分をどこまで 詳しく書くかは悩ましい
時間との闘いだしね
そこらは やっぱ答案練習だろう
省6
694(2): 03/08(日)06:48 ID:I4WT0RHF(3/20) AAS
>>686 自己赤ペン
それぞれの補集合をUAm^c、UBm^c とする。この二つは閉（∵開の補集合）
二つの閉集合 UAm^c、UBm^cを fで Wへ写す。その像は また閉である
この二つの閉の像の補集合を取り 二つの開近傍を得る
明らかに （＊ちょっと略している）
一つはaを含みbを含まない
一つはbを含みaを含まない
↓
それぞれの補集合をUAm^c、UBm^c とする。この二つは閉（∵開の補集合）
UAmとUBmの和集合を考える。UABmとする。この補集合もまた閉である
省7
695(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 03/08(日)06:56 ID:I4WT0RHF(4/20) AAS
>>693
>リーマン問題でベクトル束を使うときは
>注意が必要
ID:/KmvluKBは、御大か
巡回 ご指導ありがとうございます
>>686 の赤ペンか
しかし、コメントがむずくて 分りません！ （＾＾；
多分 ”リーマン問題でベクトル束を使うとき”と同じ
とコメントしているのかも？
696(4): 03/08(日)07:00 ID:oLc0wnXg(1/26) AAS
>>686
AIの回答
---
f が閉写像 ⇒ W はハウスドルフ → 真
証明
W の任意の相異なる2点 w1 ≠ w2 を取る。
f は全射なので、ある z1 ∈ f^-1(w1), z2 ∈ f^-1(w2) が存在。
z1 ≠ z2 （もし z1 = z2 なら w1 = f(z1) = z2 となって矛盾）。
Z がハウスドルフなので、z1 と z2 を分離する開近傍 U, V が存在：
U ∩ V = ∅, z1 ∈ U, z2 ∈ V
省12
698(1): 03/08(日)08:07 ID:qwue3QyI(1/11) AAS
>>686
>もし a'2 ⊂UB1 であれば UB1を小さくして a'2を含まないように分離できる（∵ハウスドルフ）
>この小さくした開近傍を UB2とする
UB2の閉包にa'2があるかもね
699(1): 03/08(日)08:16 ID:qwue3QyI(2/11) AAS
>>686
>今、a'1,a'2,・・a'm たちの和集合をUAmとする
それｍ点集合だから閉ですね
708(3): 03/08(日)08:57 ID:qwue3QyI(6/11) AAS
あと
オミゴトな解答はfの全射性を上手く使ってるんだけど
そこにも言及が無いね>>686
分離していることを示すにはそれ必要じゃ無いかな
>明らかに （＊ちょっと略している）
略しすぎ
727(1): 03/08(日)09:42 ID:I4WT0RHF(7/20) AAS
>>722 追加
５）
オミゴトな解答はfの全射性を上手く使ってるんだけど
そこにも言及が無いね>>686
↓
そこは >>686 の”a'1と b'1,b'2,・・b'n たちは異なる（∵例えば a'1＝b'n ならば 射の定義に反する）”
で言及したつもりです
>>696の”z1 ≠ z2 （もし z1 = z2 なら w1 = f(z1) = z2 となって矛盾）”
は うまい書き方と思った
但し 赤ペン
省5
728(2): 03/08(日)09:43 ID:oLc0wnXg(4/26) AAS
>>686の証明を、AIに見せた結果
ユーザーが提示した証明は、本質的に正しいです。
私の前の修正版とほぼ同じアイデアを、より直感的・逐次的に記述したもので、
大学院入試レベルの解答としては十分に合格点を取れる内容だと思います。
ただし、厳密に書くならいくつか細かいツッコミどころ（曖昧さや省略）があるので、
それを修正・補強した形で評価します。
「二つの閉の像の補集合を取り 二つの開近傍を得る」
→ 正確に言うと：O_a = W - f(UAm^c)
（開、a ∈ O_a なぜなら A ⊂ UAm ⇒ f(A) = {a} ∩ f(UAm^c) = ∅）
O_b = W - f(UBm^c) （同様）
省9
742(1): 03/08(日)11:42 ID:I4WT0RHF(11/20) AAS
>>738-739
>カンニングして赤ペンされるの草
実力不足ですｗ （＾＾
>種本って何？
過去に読んだ 位相空間論のテキストとか ネット情報から
内心の“big picture”>>25 があるんだ
それを ぼんやり眺めながら
それで >>686 東北大 <合格体験記>の証明荒筋と付き合わせてね
記憶があいまいなので 主に wikipediaで ハウスドルフの定義や 閉と開 を眺めた
最後の書き方が 浮かばなかったのは 実力不足です
省1
779(2): 03/08(日)20:10 ID:I4WT0RHF(19/20) AAS
AA省
785(9): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 03/09(月)00:32 ID:dTh/hnwA(1/8) AAS
>>686 戻る
<答案改訂> (>>722 >>723の赤ペンを入れた訂正版 また >>728のAIを参考にした)
(ii) は真
<証明>
ハウスドルフ空間とは、異なる点がそれらの開近傍によって分離できるような位相空間のことである
さて W の相異なる2点 a,b を取る
逆像 f−1({w})は有限集合であるから
aの逆像を a'1,a'2,・・a'm
bの逆像を b'1,b'2,・・b'n (n,mは1以上の整数) とする
a'1,a'2,・・a'm たちと b'1,b'2,・・b'n たちは 互いに異なる
省31
819(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 03/09(月)12:47 ID:s5PkI64s(5/18) AAS
>>806-808
>789でハウスドルフの定義を削除したのは
>単に字数制限をかわすためと思われる
>実際には2点の開近傍が交わらないことしか使ってないけど
そうなんだけどね
でも >>686 東北大 R8年度院試の問題文において 定義を省いて 専門用語をぶつけている
但し
”fが開写像であるとはZの任意の開集合Uに対しf(U)がW の開集合であることをいい
fが閉写像であるとはZの任意の閉集合Fに対しf(F)がWの閉集合であることをいう”
と ここだけ 定義を書いてくれた意図が不明だが
省24
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