【衝撃】選択公理が間違っていることを発見した！！ (186ﾚｽ)
上下前次1-新
1(26): 2025/10/16(木)00:43 ID:mlzepFHN(1) AAS
定理1:
選択公理⇔整列可能定理
よって実数の集合Rに整列順序を入れることができる。以下、この順序で考える。
定理2:
文章で定義不可能な実数が存在する
証明:
すべての文章の集合は高々可算であるため。□
定理2より、文章で定義できない最小の実数xを取ることができるが、xは文章で定義できるので矛盾。
つまり、選択公理は偽だった。
2: 2025/10/16(木)00:55 ID:RxRJyOgJ(1) AAS
>>1
命題じゃ無いんだから無意味よ
3(2): 2025/10/16(木)01:28 ID:5+jw3KaW(1/2) AAS
以下、その順序で考える。
文章で定義不可能な実数は存在しない。
実際、写像 f:Λ→R が順序同型となるような順序数Λが存在し、文章「第λ番目の実数はf(λ)である」の全体（濃度|Λ|）で実数すべてを定義できる。
4: 2025/10/16(木)02:01 ID:ZcTrOi4H(1) AAS
定理2を満たす実数たちはちゃんと集合なの？
5: poem 2025/10/16(木)03:51 ID:zvTZXVZe(1/7) AAS
選択公理、今調べたけど、この話か
ホテルの客室が∞にある時、1個空けで選んでも∞にあるから、
0個空け−1個空け＝客室0個
これが選択公理では？
実際は
0個空け−1個空け＝∞のまま、但し濃度が薄い
だけなのに
ではない？
10×0.999…−0.999…＝9
が選択公理では？
省10
6: poem 2025/10/16(木)03:54 ID:zvTZXVZe(2/7) AAS
ようは
1つの集合に要素が∞個ある集合を∞個用意して1個ずつ選んだら途端に∞個の全集合が消失するのが選択公理では？
7: poem 2025/10/16(木)03:55 ID:zvTZXVZe(3/7) AAS
この全集合消失は
1未満では真で
1以上では偽
と
8: poem 2025/10/16(木)03:57 ID:zvTZXVZe(4/7) AAS
ホテルの客室の
0個空け−1個空け＝∞のままでなく客室0個
これ
解析接続がまんま、選択公理の1以上の偽の操作してるんじゃ？
9: poem 2025/10/16(木)03:59 ID:zvTZXVZe(5/7) AAS
だから
選択公理が1未満しか真でなく
1以上が偽であることの
証明がないと
解析接続が今の状態になる問題
選択公理は半面真なだけ
10: poem 2025/10/16(木)03:59 ID:zvTZXVZe(6/7) AAS
とかでなく？
11: poem 2025/10/16(木)04:00 ID:zvTZXVZe(7/7) AAS
解析接続って無関係？
12(3): 2025/10/16(木)04:29 ID:FM9lcdfN(1) AAS
>>3
それが文章ではないλが存在する
13(2): 2025/10/16(木)08:11 ID:5+jw3KaW(2/2) AAS
>>12
文章の定義を教えて
どうだと文章でどうだと文章でないの？
14: 2025/10/16(木)09:00 ID:3+xaGc42(1) AAS
>>13
辞書を引けよ
15(1): 2025/10/16(木)09:15 ID:6D0y7Wwq(1) AAS
任意の文章sに実数f(s)を対応させ、それをf(s)の定義としても、
文章s「文章で定義できない最小の実数」に対応するf(s)は、
日本語の意味での「文章で定義できない最小の実数」ではない
sはある形式言語におけるf(s)の表現でしかない
16: 2025/10/17(金)00:51 ID:L2+0NI5z(1/2) AAS
選択公理をいろいろ調べたけど、成り立つのが不思議。
おそらく集合の概念をおれが間違っているのだろうと思う。
素朴集合論において実数の集合ってつくれるのだろうか？
ZF(C)でも実数の集合はつくれるのだろうか？
17(1): 2025/10/17(金)09:10 ID:D6ohUX+M(1) AAS
実数の集合が定義できることと、すべての実数が定義できることは全く別
18(1): 2025/10/17(金)09:19 ID:1LcW/L+3(1/7) AAS
実数が定義できるの定義は？
19(2): 2025/10/17(金)10:23 ID:1LcW/L+3(2/7) AAS
>>1
>すべての文章の集合は高々可算である
なんで？
20: 2025/10/17(金)11:24 ID:1LcW/L+3(3/7) AAS
>>1
>xは文章で定義できる
なんで？
21: 2025/10/17(金)11:25 ID:1LcW/L+3(4/7) AAS
>>1
>文章で定義できない最小の実数xを取ることができるが、xは文章で定義できる
なんで文章で定義できないxが文章で定義できるの？
22(1): 2025/10/17(金)11:29 ID:1LcW/L+3(5/7) AAS
>>1
>矛盾。
>つまり、選択公理は偽だった。
xが文章で定義でき且つ文章で定義できないなら矛盾では？
なぜ矛盾の原因が選択公理を仮定したことだと言えるの？
23(1): 2025/10/17(金)11:39 ID:1LcW/L+3(6/7) AAS
>>1
>選択公理⇔整列可能定理
整列可能定理は関係無いだろ
選択公理を仮定すればRの空でない任意の部分集合の代表元が取れて、最小元を代表元に置き換えても同じ議論が成立するじゃん
24: 2025/10/17(金)12:48 ID:1LcW/L+3(7/7) AAS
>>1
>文章で定義できない最小の実数xを取ることができるが、xは文章で定義できるので矛盾
文章で定義できない実数はwell-definedでないから矛盾とは言えない
25(1): 2025/10/17(金)13:02 ID:L2+0NI5z(2/2) AAS
>>17
実数の集合の定義はZF(C)を満たせるのか、ということ。
無制限な内包公理にしかみえなかったので。
26(2): 2025/10/18(土)09:26 ID:DueBxUMb(1/5) AAS
>>23
いや、選択公理すら不要。
>文章で定義できない最小の実数xを取ることができるが、xは文章で定義できるので矛盾。
を
文章で定義できない任意の実数xを取ることができるが、xは文章で定義できるので矛盾。
にすればいいだけ。
27: 2025/10/18(土)10:01 ID:DueBxUMb(2/5) AAS
任意のxについて、xが文章で定義できないものであるなら、xは「文章で定義できないもの」という文章で定義でき、逆にxが「文章で定義できないもの」という文章で定義できるなら、xは文章で定義できない。
すなわち、xが文章で定義できることをP(x)で表すと、P(x)⇔¬P(x) が成り立つ。
パラドックスの原因は述語でないP(x)を述語として扱ったこと。アリティ1の述語はドメインの部分集合だが、P(x)はそうでない。
28: 2025/10/18(土)10:35 ID:DueBxUMb(3/5) AAS
結論 xが文章で定義できることをP(x)で表す。P(x)は論理式でないから>>1は証明でない。
以上
29: 2025/10/18(土)12:11 ID:ZLJP8vZ1(1/5) AAS
P(X)は論理式だと思いますが？
30: 2025/10/18(土)12:22 ID:ZLJP8vZ1(2/5) AAS
う、P(x)の間違い。xが大文字になっちゃった。
31: 2025/10/18(土)14:00 ID:DueBxUMb(4/5) AAS
文章で定義できるもの全体の集まりXを集合と仮定する。
いま ¬x∈X とする。
この時「xは文章で定義できない何かしらのもの」という文章でxは定義できるから x∈X である。
矛盾が導かれたからXは集合でない。
32(1): 2025/10/18(土)14:42 ID:X7cNYqzW(1/3) AAS
ZFCの公理系は一階述語論理で書かれるのであって、日本語で書かれるものではない。
各種の集合はZFCの公理系を組み合わせて得られるのであるから、
それらの集合も一階述語論理で書かれる。
すなわち、何かしらの集合 M を定義したいとして
M：＝{ x｜xは〜〜〜を満たす }
と定義したとき、「xは〜〜〜を満たす」という文章は、
厳密には述語論理で書かなければならない。
33: 2025/10/18(土)14:46 ID:ZLJP8vZ1(3/5) AAS
xという命題の否定ですから真/偽ですね。
とくに矛盾しませんね。
34(2): 2025/10/18(土)14:46 ID:X7cNYqzW(2/3) AAS
>>1のケースでは
M：＝{ x∈R｜xは文章で定義できない }
という集合を定義することになるが、まず最初に
「xは文章で定義できない」
の部分を1階述語論理で表現し直さなければならない。
しかし、これは1階述語論理の範囲では不可能である。
35(1): 2025/10/18(土)14:47 ID:X7cNYqzW(3/3) AAS
それどころか、定理2(>>1)の証明の
＞すべての文章の集合は高々可算であるため
が間違っている。ここでは
A：＝{ 文章を全て集めたもの }
を考えて、このAが高々可算であることを示そうとしているが、
そのためにはまず、「文章を全て集めたもの」という日本語を
1階述語論理で表現しなければならない。
しかし、これは1階述語論理の範囲では不可能である。
36: 2025/10/18(土)15:20 ID:DueBxUMb(5/5) AAS
>>32
>「xは〜〜〜を満たす」
は論理式であることが必要。「xは文章で定義可能」は述語の定義を満たさないので論理式ではない。日本語うんぬんは関係無い。
ちなみにZFでは
>M：＝{ x｜xは〜〜〜を満たす }
の形は許容されない。Mは何らかの集合の部分集合であることが必要。
>>34
>「xは文章で定義できない」
>の部分を1階述語論理で表現し直さなければならない。
>しかし、これは1階述語論理の範囲では不可能である。
省5
37: 2025/10/18(土)16:08 ID:ZLJP8vZ1(4/5) AAS
>>25です。
やっとポーランド空間をみつけました。これならとりあえず、実数の集合は納得できます。
昨夜、ポーランド空間と似たようなものを思いついていたのですが、ポーランド空間の一種だったのかもしれません。実行記述集合論をあたってみます。
38: 2025/10/18(土)16:11 ID:ZLJP8vZ1(5/5) AAS
う、実効記述集合論の間違いです。まあ、プログラムで検証しようとしているので実行でもあるのですがね。
39(1): 2025/10/18(土)19:00 ID:kTre2FiS(1) AAS
実数のある無限集合が「存在する」からといって
そこから「最小の実数ｘをとることが出来る」
と決めつけているが、それはまさに選択公理を
密輸して使っていることに他ならない。
40: 2025/10/19(日)00:10 ID:kRXLq4NH(1) AAS
自信満々にレスして間違ってる奴はダサい
41(3): 2025/10/19(日)00:11 ID:U0+bltsR(1/2) AAS
>>18
有限個の論理式の列で一意に定まること
42: 2025/10/19(日)00:12 ID:U0+bltsR(2/2) AAS
>>26
アホすぎ
43(1): 2025/10/19(日)00:16 ID:+DumpEtF(1/3) AAS
「定義できる」の意味がわかってない人たち→ >>3 >>26
44(1): 2025/10/19(日)00:18 ID:+DumpEtF(2/3) AAS
「文章」の意味が分かってない人たち（数学無関係。日常生活レベルでヤバい）→>>13 >>19
45(1): 2025/10/19(日)00:23 ID:+DumpEtF(3/3) AAS
背理法が理解できてない人たち（高校数学レベル）→ >>22 >>39
46(1): 2025/10/19(日)00:33 ID:niq5zWsN(1/38) AAS
>>41
実数0を2個以上の論理式の列で一意に定めてみて
47: 2025/10/19(日)00:33 ID:niq5zWsN(2/38) AAS
>>41
実数0を2個以上の論理式の列で一意に定めてみて
48(5): 2025/10/19(日)00:36 ID:dkhtn94t(1) AAS
>>46
自分でやれ
49(1): 2025/10/19(日)00:38 ID:niq5zWsN(3/38) AAS
>>44
君は分かってるの？ ならなぜ>>19に答えないの？ 分かってる振りしたいだけだから？
50: 2025/10/19(日)00:39 ID:niq5zWsN(4/38) AAS
>>48
逃げるなら最初からしゃしゃり出てくんなよクズ
51: 2025/10/19(日)00:39 ID:niq5zWsN(5/38) AAS
>>48
逃げるなら最初からしゃしゃり出てくんなよクズ
52(4): 2025/10/19(日)00:41 ID:dLlABqYJ(1) AAS
>>49
自分で考えなさい
子供じゃないんだから
53(1): 2025/10/19(日)00:43 ID:niq5zWsN(6/38) AAS
選択公理が間違いとか言っちゃうトンデモ（入院レベル） → >>45
54: 2025/10/19(日)00:43 ID:niq5zWsN(7/38) AAS
>>52
逃げるなら最初からしゃしゃり出てくんなよクズ
55(1): 2025/10/19(日)00:48 ID:YEskg+0a(1) AAS
自信満々に間違えてる人たち → >>15 28 >>34
※おそらくベリーのパラドックスやリシャールのパラドックスと勘違いしている
56: 2025/10/19(日)00:57 ID:niq5zWsN(8/38) AAS
ID:+DumpEtF
君の得意な背理法で選択公理が間違いであることが証明できるんでしょ？
現代数学を根底から覆す大発見だから論文書きなよ
選択公理のZFからの独立性を証明したコーエンはフィールズ賞もらったよ
57(5): 2025/10/19(日)00:58 ID:BVP2Dg+c(1) AAS
ZFCを記述可能な形式言語で書き直したとしても同じことが起きるから、文章だとか自然言語だとかは関係ない
>>1
>xは文章で定義できる
ここが間違い
整列可能定理で取ってくる順序が一意に定まらないから、記述言語を定めた時点でxは定義できていない
ちなみにChatGPTに聞いても、「この問題はリシャールのパラドックスに関係している」と間違えた
58(2): 2025/10/19(日)00:59 ID:gvPOtGAJ(1) AAS
>>53
誰もそんなこと言っとらんが
59: 2025/10/19(日)01:05 ID:niq5zWsN(9/38) AAS
>>55
なぜ君は>>1に対する君の見解を述べないんだ？
自信満々に他者を間違いと断じておきながら、自分の見解を述べることから逃げる卑怯者だからかい？
60(2): 2025/10/19(日)01:06 ID:gvES3Lhc(1) AAS
>>57
てことは非可算集合に入る整列順序は必ず二個以上あることが証明できるわけか
61(1): 2025/10/19(日)01:09 ID:erTfZ5uu(1) AAS
>>60
そりゃ任意の二元を選んで順番入れ替えりゃ別の整列順序になるからもっと簡単に言える
62(1): 2025/10/19(日)01:10 ID:niq5zWsN(10/38) AAS
>>58
否定で語るバカ発見
否定で語ることの無意味さを知らないのはバカである証拠
63(2): 2025/10/19(日)01:23 ID:niq5zWsN(11/38) AAS
>>57
>整列可能定理で取ってくる順序が一意に定まらないから、記述言語を定めた時点でxは定義できていない
一階述語論理の存在例化推論規則を知らんのか？
整列可能定理を認めるなら存在例化によりRの整列順序を一意に定めることができる。
もちろん構成的に定める訳ではないから具体的に示すことはできないが、この場合そんなことはどうでもよい。
64: 2025/10/19(日)01:30 ID:niq5zWsN(12/38) AAS
>>60
ナンセンス。
1個か複数個かはどうでもよろしい。この場合意味があるのは存在するか否かだけ。
君も一階述語論理の存在例化推論規則を知らんようだな。
何だこのスレは。無知の巣窟か？
65: 2025/10/19(日)01:32 ID:niq5zWsN(13/38) AAS
>>61
どうでもよい自明情報をありがとう
66(2): 2025/10/19(日)01:34 ID:HIm99Kej(1) AAS
理解できないからって騒ぐな
勉強しろ
67(1): 2025/10/19(日)01:38 ID:1QojhJ2u(1) AAS
>>63（アホ）「実数は存在する。したがって実数は一つしかない」
68(1): 2025/10/19(日)01:43 ID:mxDiXm1n(1/2) AAS
>>63（アホ）「実数は存在する。よって実数xを任意に取る。xは一意に定義されている。」
69(1): 2025/10/19(日)01:44 ID:7aCWN8L2(1) AAS
選択公理はそれを公理として取り入れる体系も
取り入れない体系もどちらもそれぞれ無矛盾に
存在できる。
70: 2025/10/19(日)01:45 ID:niq5zWsN(14/38) AAS
何も語れないいっちょがみ → >>48 >>52
71: 2025/10/19(日)01:47 ID:niq5zWsN(15/38) AAS
>>67
存在例化推論規則を理解できないアホがなんか言っとる
72(1): 2025/10/19(日)01:50 ID:niq5zWsN(16/38) AAS
>>68
一意に？ 日本語読めんなら国語からやり直せば？
73(1): 2025/10/19(日)01:51 ID:mxDiXm1n(2/2) AAS
>>72
xを実数とする。
xを求めよ。
74: 2025/10/19(日)01:52 ID:niq5zWsN(17/38) AAS
何も語れないいっちょがみ → >48 >52 >66
75: 2025/10/19(日)01:57 ID:niq5zWsN(18/38) AAS
>>69
惜しいけど間違い。
選択公理はZFから独立（コーエンが証明）だから、ZFが無矛盾ならZFCも無矛盾。
しかーーーーーーーーし ZFが無矛盾であることをZFで証明することは不可能（ゲーデルの不完全性定理）。
76(1): 2025/10/19(日)02:01 ID:niq5zWsN(19/38) AAS
>>73
アホ自慢は楽しいかい？
77: 2025/10/19(日)02:04 ID:HLl9D9gG(1) AAS
>>76
xを実数とする。
xを求めよ。
78(1): 2025/10/19(日)02:05 ID:niq5zWsN(20/38) AAS
何も語れないいっちょがみ → >48 >52 >58 >66
79(1): 2025/10/19(日)02:20 ID:7hIW7kw4(1) AAS
>>78
xを実数とする。
xを求めよ。
80(1): 2025/10/19(日)02:47 ID:niq5zWsN(21/38) AAS
>>79
アホ自慢は楽しいかい？
81: 2025/10/19(日)03:08 ID:aOuStH7W(1) AAS
>>80
xを実数とする。
xを求めよ。
82: 2025/10/19(日)04:32 ID:niq5zWsN(22/38) AAS
自信満々に文章が分かってないと断じておきながら文章全体の集合がなぜ高々可算か答えられないアホ
実数が定義できるの定義は有限個の論理式の列で一意に定まることと答えておきながら実数0を2個の論理式の列で一意に定める例も答えられないアホ
自信満々に間違ってると断じておきながら自分の見解は一切述べれないアホ
論理の初歩が分かってないアホ
アホ自慢を楽しむアホ
このスレアホばっかで草
83(1): 2025/10/19(日)04:47 ID:niq5zWsN(23/38) AAS
>>41
論理式の有限列で定めるってどういうこと？ なんで列なの？
証明（＝ある条件を満たす論理式の有限列）と勘違いしてんのか？
いずれにしろ実数0を2個の論理式の列で一意に定める例を答えず逃げたってことはお里が知れちゃったね しゃしゃり出て来て恥ずかしいね
84(1): 2025/10/19(日)08:12 ID:Tq5fpNGx(1/3) AAS
>>62
あ！ そういうことか。
否定で語るというのは「防衛機制」の一種だ。
反抗期かな。
85: 2025/10/19(日)08:41 ID:niq5zWsN(24/38) AAS
>>84
何を訳分からんこといっとんだちみは
ちみに問題 実数xは0でない xが何であるか答えよ
86: 2025/10/19(日)09:29 ID:Tq5fpNGx(2/3) AAS
世の中のすべて（数学も含む）を統一する根本原理（万物理論）は何か。
という問いの答えが「（広義の）防衛機制」にあるのではないか、と思っていろいろ散策/探索しているわけです。
数（数学的対象）であっても（数そのものの）防衛機制で扱えるでしょう。
ま、アホな否定は幼児性ということでもよいのですがね。
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