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201(1): 2024/09/17(火)16:40 ID:y8t8y6zv(2/2) AAS
いやだ
202: 2024/09/17(火)17:18 ID:3/R7qZPl(4/4) AAS
>>201
おねがいです
203(2): 2024/09/17(火)22:04 ID:K4HkAT+V(1) AAS
n回振り時の 切り分け総数の期待値
= 「裏の数」＋１×「表の３〜５連の数」＋２×「表の６〜８連の数」＋３×「表の６〜８連の数」＋．．．
≒ n { 1/2 + (1/2^5+1/2^6+1/2^7) + 2(1/2^8+1/2^9+1/2^10) + 3(1/2^11+1/2^12+1/2^13) + ... }
= n { 1/2 + 7 (1/2^7 + 2/2^10 + 3/2^13 + ...) }
= n ( 1/2 + 7 * 1/98)
= 4n/7
終末処理を考えると 4n/7 +α (0<α<1)
表表表の総数の期待値
=１×「表の３〜５連の数」＋２×「表の６〜８連の数」＋３×「表の６〜８連の数」＋．．．
≒ n {(1/2^5+1/2^6+1/2^7) + 2(1/2^8+1/2^9+1/2^10) + 3(1/2^11+1/2^12+1/2^13) + ... }
省2
204(3): 2024/09/17(火)22:29 ID:Yt9HWBTT(1/8) AAS
>>203
ちょっとそれ定義が違う
3回振る場合
裏裏裏
裏裏表
裏表裏
裏表表
表裏裏
表裏表
表表裏
省44
205: 2024/09/17(火)22:30 ID:Yt9HWBTT(2/8) AAS
>>204
>なのでE(X)=1/8
前の定義でこれがE1なので
そうかここだけ単調増加じゃないかな
206: 2024/09/17(火)22:36 ID:Yt9HWBTT(3/8) AAS
>>203
切り分け総数の期待値で表表表の総数の期待値を割るのと
E(Xn)とは異なるんじゃないの？
そこで＋α使うみたいに評価不等式得られてそれで
極限では一致するみたいになるのかな？
207: 2024/09/17(火)22:46 ID:Yt9HWBTT(4/8) AAS
>>204
>よって
>E(X)=(2/2+9/3+5/4+2)/64=29/256=0.11328125
間違えた
E(X)=(2/2+9/3+5/4+1)/64=25/256=0.09765625
208(2): 2024/09/17(火)22:55 ID:Yt9HWBTT(5/8) AAS
切り分け総数をYn
表3連の総数をZnとして
Xn=Zn/Ynだから
ZnとYnが独立なら
E(Xn)=E(Zn)E(1/Yn)
だけどE(1/Yn)=1/E(Yn)？
極限ではlimE(1/Yn)=1/limE(Yn)になるの？
そもそもZnとYnは独立かなあ
209: 2024/09/17(火)23:13 ID:Yt9HWBTT(6/8) AAS
>>204
>表表表が1個が16種類
ここも間違えた
表裏 裏 表表表 X=1/3
表裏 裏 表表表 X=1/3
が抜けてたから
(X)=(2/2+11/3+5/4+1)/64=83/768=0.108072916666667
だった
210: 2024/09/17(火)23:18 ID:Yt9HWBTT(7/8) AAS
また間違えた
追加されるのは
表裏 裏 表表表 X=1/3
一種類だから
E(X)=(2/2+10/3+5/4+1)/64=79/768=0.102864583333333
211: 2024/09/17(火)23:38 ID:Yt9HWBTT(8/8) AAS
また間違えた
計算させたら
E2=0.110677
みたい
212: 2024/09/18(水)00:28 ID:V+plLnwa(1/9) AAS
6回振る場合に表表表が1個が
最初に来るのが
表表表 表表裏 X=1/2
表表表 表裏 表 X=1/3
表表表 表裏 裏 X=1/3
表表表 裏 表表 X=1/3
表表表 裏 表裏 X=1/3
表表表 裏 裏 表 X=1/4
表表表 裏 裏 裏 X=1/4
2番目に来るのが
省18
213(1): 2024/09/18(水)00:49 ID:V+plLnwa(2/9) AAS
9回振る場合に
表表表が2個なら
あとは裏か表裏か表表裏かとしてさいごに裏か表裏かの場合はそれを表か表表に変えたものでもいいから
裏3個なら
[3,2]＝10通りのうち最後裏なのが[2,2]=6通りなので10＋6＝16通り
裏1個裏表1個なら
[1,1,2]=12通りのうち最後裏なのが[1,2]=3通り最後表裏なのが[
1,2]=3通りなので12+3+3=18通り
これに
表表表 表表表 表表裏
省16
214: 2024/09/18(水)00:50 ID:V+plLnwa(3/9) AAS
>>213
>の3通りで合計37通りについてXの合計を求めると
>16/5+18/4+3/3=87/10
の2倍だから87/5
215(1): 2024/09/18(水)09:00 ID:V+plLnwa(4/9) AAS
表表表以外は一つの裏が最後につくだけだから
表のコインを3個2個1個0個に分けて3個以外に
裏をくっつけてちょうど3n個にすればいいのか
最後のところ
・裏で終わる（ちょうど切り分け）
・表で終わる（ちょうど切り分け＋表）
・表表で終わる（ちょうど切り分け＋表表）
で考えたらいいね
表3個がa個
表2個がb個
省10
216: 2024/09/18(水)09:21 ID:eZwysP7z(1) AAS
マルチ死ね
217: 2024/09/18(水)09:33 ID:V+plLnwa(5/9) AAS
わかんないんですね
俺もわかんないんだ
218: 2024/09/18(水)09:46 ID:V+plLnwa(6/9) AAS
>>208
>そもそもZnとYnは独立かなあ
n=1のとき2^3=8パターンで
表表表 Z=1 Y=1
表表裏 Z=0 Y=1
表裏 表 Z=0 Y=2
表裏 裏 Z=0 Y=2
裏 表表 Z=0 Y=2
裏 表裏 Z=0 Y=2
裏 裏 表 Z=0 Y=3
省3
219: 2024/09/18(水)09:49 ID:V+plLnwa(7/9) AAS
n→∞の極限では独立なような気もするけど
それ確率分布で扱えるんかな
根源事象が表裏の可算無限個の連続て確率分布じゃなかったよね確か
220(3): 2024/09/18(水)10:02 ID:QMPXRJf0(1) AAS
s,tが0≦s≦1, 0≦t≦1 の範囲を動くとき
点(s^2-t^2, 2st)の存在範囲はどのように求められますか
221: 2024/09/18(水)10:23 ID:nIbzxi3G(1) AAS
>>220
外部ﾘﾝｸ:chatgpt.com
222: 2024/09/18(水)11:36 ID:V+plLnwa(8/9) AAS
>>220
s=rcosθ t=rsinθ
x=RcosΘ=s^2-t^2=r^2cos2θ y=RsinΘ=2st=r^2sin2θ
R=r^2 Θ=2θ
0≦s,t≦1
0≦θ≦π/4 0≦r≦1/cosθ
0≦Θ≦π/2 0≦R=r^2≦1/cos^2θ=2/(1+cosΘ)
0≦R(1+cosΘ)≦2
0≦x,y 0≦x+√(x^2+y^2)≦2
0≦x≦1-y^2/4 0≦y
省5
223: 2024/09/18(水)11:39 ID:V+plLnwa(9/9) AAS
0≦y≦2√(1-|x|)
224: 2024/09/18(水)13:32 ID:IXg4Hdvi(1) AAS
>>220
z=s+it
w=(s^2-t^2)+2ist=z^2
これで正方形を写した方が筋がよさげ
225: 2024/09/19(木)17:01 ID:1BG+xZ7H(1/2) AAS
>>208
Zn=XnYnなのでXnとYnが独立なら
E(Zn)=E(Xn)E(Yn)
すなわち
E(Xn)=E(Zn)/E(Yn)
だけんど
XnとYnも独立じゃないよなあ
n=1のとき
表表表 X=1 Y=1
表表裏 X=0 Y=1
省6
226: 2024/09/19(木)17:14 ID:1BG+xZ7H(2/2) AAS
E(Zn)=E(XnYn)=E(Xn)E(Yn)+COV(Xn,Yn)
E(Xn)=E(Zn)/E(Yn)-COV(Xn,Yn)/E(Yn)
limE(Xn)=limE(Zn)/E(Yn)-limCOV(Xn,Yn)/E(Yn)
だから
limCOV(Xn,Yn)/E(Yn)=0
を証明すればいいのか
COV(Xn,Yn)=E((Xn-E(Xn))(Y-E(Yn)))
COV(Xn,Yn)/E(Yn)=E((Xn-E(Xn))(Y/E(Yn)-1))
うーむ致し方なし
227(1): 2024/09/20(金)14:56 ID:h0YVKOCj(1/2) AAS
>>215
>Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n][a,b,c,d](a/a+b+c+d)
=Σ[1≦a,0≦b,c,d,3a+3b+2c+d=3n]((a+b+c+d)!/a!b!c!d!)(a/a+b+c+d)
=Σ[1≦a,0≦b,c,d,3a+3b+2c+d=3n]((a+b+c+d-1)!/(a-1)!b!c!d!)
=Σ[1≦a,0≦b,c,d,3a+3b+2c+d=3n][a-1,b,c,d]
=Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-3][a,b,c,d]
>Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-1][a,b,c,d](a/a+b+c+d+1)
=Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-4][a,b,c,d](a+b+c+d+1/a+b+c+d+2)
>Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-2][a,b,c,d](a/a+b+c+d+1)
=Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-5][a,b,c,d](a+b+c+d+1/a+b+c+d+2)
228: 2024/09/20(金)15:58 ID:h0YVKOCj(2/2) AAS
>>227
>>Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-1][a,b,c,d](a/a+b+c+d+1)
>=Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-4][a,b,c,d](a+b+c+d+1/a+b+c+d+2)
≒＞Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-4][a,b,c,d]
>>Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-2][a,b,c,d](a/a+b+c+d+1)
>=Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-5][a,b,c,d](a+b+c+d+1/a+b+c+d+2)
≒＞Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-5][a,b,c,d]
En=E(Xn)≒＞(Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-3][a,b,c,d]
+Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-4][a,b,c,d]
+Σ[0≦a,b,c,d,3a+3b+2c+d=3n-5][a,b,c,d] ) / 2^3n
省1
229(1): 2024/09/23(月)00:43 ID:PuFOgYAw(1/4) AAS
以下のような問題に読み替える。
----
n を自然数とする。次のようなゲームを考える。
(※)
. 確率 1/2 でコスト 1 消費して失敗
. 確率 1/4 でコスト 2 消費して失敗
. 確率 1/8 でコスト 3 消費して失敗
. 確率 1/8 でコスト 3 消費して成功
試行 (※) を繰り返し消費コストの総計が n を超えた時点で終了。最終ゲームは無効として残りの有効なゲーム数を Tₙ、成功回数を Sₙ として lim E(Sₙ/Tₙ) = 1/8 である。
----
230: 2024/09/23(月)00:43 ID:PuFOgYAw(2/4) AAS
Claim 1 ) P( |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) ) → 0
(∵) 結論を否定すると ε>0 と無限集合 S を
. P( |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) ) > ε ( ∀n ∈ S )
となるようにとれる。このとき z>0 を Y が N(0,1) に従うとき
. P( |Y| > z ) < ε/2
を満たすようにとれる。
このとき十分大きい N₁ で 任意の n > N₁ で (n^(2/3)-5)/√⌊4/7n⌋ > z となるようにとれる。
さらに CLT より十分大きい N₂ で任意の n > N₂ にたいして
. | P( Σ_{k≦4/7n} ( Cₖ - 7/4 )/√⌊4/7n⌋ ≧ z ) - P( Y ≧ z ) | < ε/2
となるようにとれる。N₃ = max{N₁,N₂} とすれば任意の n>N₃ に対して
省8
231: 2024/09/23(月)00:44 ID:PuFOgYAw(3/4) AAS
Claim 2 ) P( | Sₙ - 1/14 n | < 2n^(2/3) ) → 0
(∵) N(0,1) に従う Y をとる。ε>0 をとる。Claim1 と CLT から N>0 を任意の n>N に対して
. P(| Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)) < ε/3
. | P(|Σ_k≦4/7n (Xₖ - 1/14)/ √⌊4/7n⌋ | > z ) - P( |Y| > z ) | < ε/3
を満たすようにとれる。さらに z>0 を
. P( |Y| > z ) < ε/3
を満たすようにとれる。Xₖ を k ゲームが成功したとき 1、そうでなければ 0 とする。このとき n>N に対して
. | Sₙ - 1/14 n | > 2n^(2/3) ∧ | Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)
. → | Σ_{k≦4/7n} Xₖ - 1/14 n |
. ≧ |Σ_{k≦Tₙ} Xₖ - 1/14 n | - |Σ_{k≦Tₙ} Xₖ - Σ_{k≦4/7n} Xₖ | > n^(2/3)
省4
232: 2024/09/23(月)00:44 ID:PuFOgYAw(4/4) AAS
( Pf. of the assertion ) ε > 0 を任意に選ぶとき N > 0 を任意の n > N に対して
. | (1/14 n ± 2n^(2/3)) / (4/7 n ∓ n^(2/3)) - 1/8 |< ε
となるようにとれる。このとき
. | Sₙ - 1/14 n | ≦ 2n^(2/3) ⋀ | Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)
. → Sₙ/Tₙ > (1/14 n - 2n^(2/3)) / (4/7 n + n^(2/3)) > 1/8 - ε
. ⋀ Sₙ/Tₙ < (1/14 n + 2n^(2/3)) / (4/7 n - n^(2/3)) < 1/8 + ε
∴ P( | Sₙ/Tₙ - 1/8 | > ε ) ≦ P(| Sₙ - 1/14 n |>2n^(2/3) ) + P(| Tₙ - 4/7 n |>n^(2/3) )
∴ Sₙ/Tₙ → 1/8 in Porb.
∴ E(Sₙ/Tₙ) → E(1/8) = 1/8
である。□
233(1): 2024/09/23(月)09:12 ID:9fFqcRc3(1/2) AAS
>>229
>最終ゲームは無効として残りの有効なゲーム数を Tₙ
これがスッキリしますね
自分の計算でもこれなら
En=E(Xn)=Σ[0≦a,b,c,d,3n-3≦3a+3b+2c+d=3n-1][a,b,c,d]
で行けます（ここから先ができませんが）
証明の方針としては中心極限定理でTn,Snを評価してSn/Tnの分布の評価につなげるということですね
細かなところじっくり見ないと理解できなさそうですが
どうもありがとう
234: 2024/09/23(月)09:16 ID:9fFqcRc3(2/2) AAS
>>233
>En=E(Xn)=Σ[0≦a,b,c,d,3n-3≦3a+3b+2c+d=3n-1][a,b,c,d]
Σ[0≦a,b,c,d,3n-5≦3a+3b+2c+d≦3n-3][a,b,c,d]
235: 2024/09/23(月)19:15 ID:LIeftZKg(1) AAS
A[n]=1 -1/n - (1/(n+1))*(1 - 1/n)^(n+1)
のとき、
(A[n])^n の n→∞ は求めれますか？
236: 2024/09/24(火)17:54 ID:1nzsidkc(1) AAS
1/e^(1+1/e)
237(1): 2024/09/24(火)22:58 ID:mNX/tavM(1) AAS
x:=1/n, y:=(1/(n+1))*(1-1/n)^n=(x/(x+1))*(1-x)^(1/x)
As n->+∞, x->+0, y/x->1/e, y->+0
log(A[n]^n)
=(log(1-x))/x+(log(1-y))/x
=(log(1-x))/x+(y/x)*(log(1-y))/y
->-1-1/e (n->+∞) [lim[t->0]((log(1-t))/t)=-1]
A[n]^n=exp(log(A[n]^n)->e^(-1-1/e) (n->+∞)
238(1): 2024/09/26(木)11:42 ID:wyFq1HdV(1/4) AAS
局所化と剰余体の話で、p素数として
Z(p) = {a/b∈Q | bはpで割り切れない}
Ｚ/Zp≡Z(p)/Z(p)p （≡は同型）
の証明を知りたい。
239(1): 2024/09/26(木)16:00 ID:LfvuYX+f(1/2) AAS
>>238
Zpてp-completeでなくてpZ=(p)={pn|n∈Z}のこと？
いずれにせよ
Z→Z(p)/Z(p)p
が全射であることと
ker(Z→Z(p)/Z(p)p)=Zp
を示せば良いよ
240(1): 2024/09/26(木)16:14 ID:wyFq1HdV(2/4) AAS
>>239
はい、Zpは素イデアルpZ=(p)のことです。
Z→Z(p)/Z(p)p
が全射であることはどのように示せますか？
241: 2024/09/26(木)16:17 ID:Yo/uoVvd(1) AAS
証明を知りたい
証明を教えてください
示せますか？
示したらいいのですか？
242: 2024/09/26(木)16:25 ID:wyFq1HdV(3/4) AAS
すみません、証明を教えて下さい
243(1): 2024/09/26(木)16:36 ID:LfvuYX+f(2/2) AAS
>>240
a/b∈Z(p)
b≠0 mod p
∃c bc=1 mod p
ac-a/b=a(bc-1)/b∈pZ(p)
244: 2024/09/26(木)22:03 ID:rLiwDsRS(1) AAS
>>237 遅くなりましつがありがとうございます。
マジシャンのような変形でべんきょうになりました。
245(1): 2024/09/26(木)23:02 ID:wyFq1HdV(4/4) AAS
>>243
なるほど！ありがとうございます！
ker(Z→Z(p)/Z(p)p)=Zpの証明も教えて下さい
246: 2024/09/26(木)23:40 ID:g6GhBBrS(1) AAS
>>245
あと考えてね
247(1): 2024/09/27(金)18:08 ID:LTHiZ1hG(1/2) AAS
数列a_1,a_2,・・・が,n→∞でa_n→∞のとき
(1+1/a_n)のa_n乗 はn→∞で eに収束しますか。
248: 2024/09/27(金)19:06 ID:QDwR44fy(1/2) AAS
>>247
もち
249(1): 2024/09/27(金)21:51 ID:LTHiZ1hG(2/2) AAS
数列b_1,b_2,…がn→∞でb_n→βなら
(1+(b_n)/n)のn乗 が n→∞でe^βに収束するのも餅でしょうか
250: 2024/09/27(金)22:05 ID:QDwR44fy(2/2) AAS
>>249
もち
251(1): 2024/09/29(日)21:15 ID:nJv+V0Qa(1) AAS
sin(x)のx乗 の x→0 は存在しますか
252: 2024/09/29(日)22:44 ID:lTxP6Gzn(1) AAS
limとか言い出す前にx<0のとき云々
253: 2024/09/30(月)11:35 ID:0v0Pqjbi(1/2) AAS
>>251
つき
254(1): 2024/09/30(月)16:45 ID:bI9EMSvy(1/2) AAS
coszは z^2 について整関数という記述があるのですがそうなのですか？
255: 2024/09/30(月)16:52 ID:1/W5wGCK(1/3) AAS
分かる問題
256(1): 2024/09/30(月)17:14 ID:0v0Pqjbi(2/2) AAS
>>254
もち
257(1): 2024/09/30(月)17:25 ID:bI9EMSvy(2/2) AAS
>>256
zについて正則なのはわかるのですが、z^2について正則なのはどうしてでしょうか。
258: 2024/09/30(月)17:27 ID:1/W5wGCK(2/3) AAS
「
恐れ入ります。趣味で物理学を学んでいる者です。
群論を始めようとしたのですが、その定義にて
・結合律、任意の三つの元a,b,c∈Gに対して
a(bc)＝(ab)cが成り立つ
とありますが、左辺の操作の順番はc→b→aですが、右辺の操作の順番はどうなりますか？
右から順に操作しなきゃいけないので、c→b→aなのか、カッコが先なのでb→a→cなのか、(b→a)＝dを先に済ませてからc→dなのか教えて下さい。
よろしくお願いします
」
259: 2024/09/30(月)17:28 ID:1/W5wGCK(3/3) AAS
誤爆
260(2): 2024/09/30(月)22:01 ID:SSus5xGT(1) AAS
>>257
整級数で定義されるからじゃないの？
261: 2024/10/01(火)12:35 ID:eTRQLqXL(1/2) AAS
>260
なるほど…ありがとうございました。
262: 2024/10/01(火)12:35 ID:eTRQLqXL(2/2) AAS
>260
なるほど…ありがとうございました。
263(1): 2024/11/20(水)09:28 ID:PCI8I0d0(1) AAS
外部ﾘﾝｸ:diamond.jp
これって条件付き確率だから
(1/2) / (2/3) で 3/4が答えではない？
264: 2024/11/21(木)11:03 ID:jLT4rIUa(1) AAS
A表 黒 A裏 黒
B表 白 B裏 白
C表 黒 C裏 白
P(白面が出る) = 3/6
P(白面が出る かつ その裏も白) = 2/6
P[白面が出る](その裏も白) = (2/6) / (3/6) = 2/3
265(1): 2024/12/15(日)23:07 ID:QJvx/bEb(1) AAS
これ頼んます… m(_ _)m
画像ﾘﾝｸ[jpeg]:i.imgur.com
266(1): 2024/12/15(日)23:29 ID:S+nePBVY(1/2) AAS
>>265
fが単調増加でlimf(x)=0の時を考えたら？
267: 2024/12/15(日)23:31 ID:S+nePBVY(2/2) AAS
>>263
条件付き確率だから
白3面中裏も白2面で
2/3よ
268(1): 2024/12/16(月)01:56 ID:SKAyhP19(1) AAS
>>266
ありがとうございます。
正解(正しくないの)は、どれ？
269(1): 2024/12/16(月)12:35 ID:oEIh6U69(1) AAS
>>268
3つ目
270: 2024/12/16(月)13:26 ID:UBQnKVK7(1) AAS
>>269
ありがとうございました！！
🙇
271: 2024/12/16(月)19:44 ID:bzg3Q5+V(1) AAS
杉浦光夫さんの解析入門シリーズは非常に詳しく丁寧な本ですが、他の日本語の本はなぜ杉浦さんの本ほど詳しくも丁寧でもないのでしょうか？
272: 2024/12/17(火)02:55 ID:j0XuM55s(1) AAS
自らの私益を削るから
自らの私益を削ってまで尽くす教書作りしない
現代で言う働き方改革を大義としたバックレ
273: 2024/12/17(火)08:33 ID:8h1XuoXh(1) AAS
最近の学生たちはコスパを重視するらしい
274: 2024/12/17(火)10:07 ID:2FYEf3ng(1) AAS
コスパよりかはダイパじゃねつか？
275: 2024/12/17(火)13:50 ID:uxb7ThuK(1) AAS
かけた時間に対して得られた効果や満足感
タイパとは、かけた時間に対して得られた効果や満足感を意味する言葉で、時間対効果とも呼ばれます。タイパが高いとは、短い時間で満足のいく結果やそれ以上のものが得られたことを意味し、その逆ならタイパが低いとされます。
276(2): [age] 2024/12/17(火)16:25 ID:cPKg/E6n(1) AAS
A = lim[n→∞] Σ[k=1,n] (1/k^2)
B = lim[n→∞] Σ[k=1,n] (1/k)(sin(π/k))
はともに約1.64である。
しかし、AとBは異なる値をとる。
このことを計算機を使用せず示せ。
277: 2024/12/17(火)16:33 ID:uZa7W3nt(1) AAS
>>276
マルチ
278(1): 2024/12/19(木)11:52 ID:gHnsyf+/(1) AAS
次の問題は出題ミスなのですか？何がまずいのでしょう。
xy平面との交わりがx^2+y^2=2で、点A(0,0,√2)を頂点とする円すいについて
( 1 ) この円すいの側面上の任意の点P(x,y,z)がみたす関係式を求めよ。
( 2 ) x軸を含み母線に平行な平面をπとする。この平面πで円すいを切ったとき、
切り口の曲線は放物線であることを証明せよ。
279: 2024/12/20(金)18:37 ID:1xokhXLc(1) AAS
>>278
なるほど(2)の問題文がマズすぎるな。
x軸を含む平面 z=ky (k>1) をαとする。
k>1より、αと平行で点Aを通る平面は底面の円周と交わる。その交点の一つをBとする。
αは円すいの母線ABと平行である。
しかしαと円すいの交線は放物線ではなく双曲線。(放物線になるのはk=1のとき)
280: 2024/12/21(土)01:01 ID:f9H3WeyP(1) AAS
円すいを、母線に平行に切ると放物線とよく言うけど、
正しくは「円すい側面のある接平面に平行に切ると」というべきなのか。
281(1): 2024/12/22(日)20:38 ID:OfelNVht(1/6) AAS
杉浦光夫著『解析入門I』
p.227の定理4.2とp.231の定理5.3から定理5.4は自明であるにもかかわらず、する必要のない証明をしています。
282: 2024/12/22(日)20:49 ID:OfelNVht(2/6) AAS
定理4.2は閉区間で連続な関数は可積分であるという定理です。
定理5.3は f が I で微分可能で、 f' が可積分ならば ∫_{a}^{b} f' = f(b) - f(a) が成立つ。 f が I で可積分で x で連続ならば F(x) := ∫_{a}^{x} f は x で微分可能で F'(x) = f(x) が成立つというものです。
定理5.4は f が I で連続ならば、 I における任意の一つの原始関数を G とすると ∫_{a}^{b} f = G(b) - G(a) が成立つという定理です。
定理5.4の証明を書くとすると、 f が連続なので、定理4.2により f は可積分である。定理5.3により、 f は原始関数をもつ。 G を f の任意の原始関数とする。
G は I で微分可能で、導関数 f は可積分である。定理5.3により、 ∫_{a}^{b} f = ∫_{a}^{b} G' = G(b) - G(a) が成立つ。
283: 2024/12/22(日)20:54 ID:OfelNVht(3/6) AAS
杉浦光夫さんの定理5.4の証明は↑の証明に比べて妙なものです。
F(x) := ∫_{a}^{x} f は f の原始関数である。
G(x) は仮定により f の原始関数である。
(G - F)'(x) = 0 だから、 G(x) - F(x) = C が成立つ。
G(a) - F(a) = G(a) = C である。
∫_{a}^{b} f = F(b) = G(b) - C = G(b) - G(a)
284: 2024/12/22(日)20:56 ID:OfelNVht(4/6) AAS
「
(G - F)'(x) = 0 だから、 G(x) - F(x) = C が成立つ。
G(a) - F(a) = G(a) = C である。
」
↑このあたりの議論は全く不要なはずです。
285(1): 2024/12/22(日)20:59 ID:OfelNVht(5/6) AAS
なぜこのような妙なことになったのか、以下のように推測します：
杉浦さんはどこかの本から普通の微積分の本に書かれている同様の定理よりも一般的な定理5.3を見つけてきて、その証明を書いた。
一方、連続関数に限定した普通の微積分の本に書かれている定理5.4の証明は普通の微積分の本に載っているものをそのまま書いた。
286: 2024/12/22(日)21:05 ID:OfelNVht(6/6) AAS
小平邦彦さん微積分の本のように自分の頭ですべて考えて書いている本との違いですね。
287: 2024/12/22(日)21:07 ID:ZKg2xOmI(1) AAS
>>281
fuck you, ass hole!
288: 2024/12/23(月)01:33 ID:o27hpcnE(1) AAS
>>285
馬鹿の考え休むに似たり
289(2): 2024/12/23(月)01:47 ID:S40dFyUy(1) AAS
教えてください。四角形ABCDでAB=3, BC=9, CD=8, DA=11, AC=9 のとき BDを求めよ。
290: 2024/12/23(月)13:51 ID:im/spyfh(1/6) AAS
杉浦光夫著『解析入門I』
1変数の積分の変数変換公式（p.235）を適用して、 ∫_{0}^{π} (x * sin(x)) / (1 + (cos(x))^2) dx を計算しています：
∫_{0}^{π} (x * sin(x)) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{-1}^{1} 1 / (1 + u^2) du = π^2 / 4
(π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{-1}^{1} 1 / (1 + u^2) du のところで、 「cos(x) = u と置いた」などと書いています。
おそらく、 dx = 1 / (-sin(x)) du などと計算して、それを「代入」して、
省2
291(2): 2024/12/23(月)13:51 ID:im/spyfh(2/6) AAS
変数変換の公式を使うのならば以下のようになるはずです：
(π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx
x = Arccos(u) と変数変換する。
dx = -1 / √(1 - u^2) du
sin(Arccos(u)) = √(1 - (cos(Arccos(u)))^2) = √(1 - u^2)
変数変換の公式により、
(π/2) * ∫_{0}^{π} sin(x) / (1 + (cos(x))^2) dx = (π/2) * ∫_{1}^{-1} [√(1 - u^2) / (1 + u^2)] * [-1 / √(1 - u^2)] du = (π/2) * ∫_{-1}^{1} 1 / (1 + u^2)] du
が成立つ。
省2
292(1): 2024/12/23(月)14:12 ID:im/spyfh(3/6) AAS
Arccos : [-1, 1] → [0, π]
u0 ∈ (-1, 1) とし、 (0, π) ∋ x0 := Arccos(u0) とする。
(dx/du)(u0) = Arccos'(u0) = 1 / cos'(x0) = 1 / sin(x0) であるから、
sin(x0) / (1 + (cos(x0))^2) dx = [sin(x0) / (1 + u0^2)] * [1 / sin(x0)] du = 1 / (1 + u0^2) du
となって、正当化できそうですが、 u0 = -1 or 1 のときにはどうすればいいですか？
293: 2024/12/23(月)14:19 ID:hUexyzcT(1) AAS
>>289
高校数学の質問スレで聞け
294: 2024/12/23(月)14:52 ID:im/spyfh(4/6) AAS
あ、端点の話は
>>291
のやり方でも問題ですね。
295: 2024/12/23(月)14:58 ID:im/spyfh(5/6) AAS
結局、正当化については
>>292
で良くて、端点の問題は広義積分として扱って切り抜けるんですね。
296: 2024/12/23(月)16:55 ID:im/spyfh(6/6) AAS
杉浦光夫著『解析入門I』
p.239
定理5.8に、「f ; U → R^m」などと書かれています。
「f : U → R^m」が正しいですよね。
297: 2024/12/23(月)16:58 ID:xULg4XQo(1) AAS
これ、松坂君の最高傑作でね？
298: しがない 2024/12/23(月)17:51 ID:vZdEPhj9(1) AAS
下記の展開図を完成させると境界付き曲面になるが、その境界はいくつの円周で構成されているかを、完成図での角の集まり方を調べることによって求めて下さい。更に、向きづけ可能性とオイラー数を計算して下さい。また、円板を必要枚数縫い付けて（純正）曲面にしたとき、それは分類定理のどの（純正）曲面になるかを答えてください。
（1） a0bc0b*c*a*
（角番号入り）
а10263c405b*6c*7a*8
（2） abObc+c*0al（角番号入り）alb203b4c5 +
c*607a809
299: しがない 2024/12/23(月)23:58 ID:jBSZHVXu(1) AAS
下記の展開図を完成させると境界付き曲面になるが、その境界はいくつの円周で構成されているかを、完成図での角の集まり方を調べることによって求めて下さい。更に、向きづけ可能性とオイラー数を計算して下さい。また、円板を必要枚数縫い付けて（純正）曲面にしたとき、それは分類定理のどの（純正）曲面になるかを答えてください。
（1） a0bc0b*c*a*
（角番号入り）
а10263c405b*6c*7a*8
（2） abObc+c*0al（角番号入り）alb203b4c5 +
c*607a809
300: 2024/12/24(火)12:54 ID:sil6ct50(1/2) AAS
>>289
△ABCの余弦定理で角BACの余弦を出しそれで正弦も出し
△ACDの余弦定理で角DACの余弦を出しそれで正弦も出し
余弦の加法定理で角BADの余弦を出し
△ABDの余弦定理でBDを出す
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