[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ4 (1002ﾚｽ)
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663(2): 2023/06/21(水)23:43 ID:+0cLjl9U(6/7) AAS
>>653>>657
>>箱入り無数目が間違ってると思ってる点で
>プロを長くやりすぎたので
>選択公理はもうわからなくなったかもしれない
ご安心ください（安村ふうｗ）
時枝（数学セミナー201511月号の記事）「箱入り無数目」 2chｽﾚ:math
中で
”R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使ってる”
”選択公理や非可測集合を経由したからお手つき，と片付けるのは，面白くないように思う.”
とあるけれども
省12
664(1): 2023/06/21(水)23:44 ID:+0cLjl9U(7/7) AAS
>>663
つづき
歴史
集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた。 実際、有限個の集合からなる集合族であれば、そのそれぞれの集合の中から順に1つずつ元を選び出し、それらを併せて集合とすればよいのであるから、このような操作ができることは自明である。
しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル、ルネ＝ルイ・ベール、アンリ・ルベーグ、バートランド・ラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理であることが認識されるようになった。確かに、無限個の集合からなる集合族の場合、上のような操作を想定しても「順に選び出す」操作は有限回で終了することはないのだから、このような操作を行えるかどうかは必ずしも明らかではない。
選択公理は、それ自身もまたその否定もほかの公理からは証明できないものであること、すなわち独立であることが示された（クルト・ゲーデル、ポール・コーエン）
バナッハ＝タルスキーのパラドックスと選択公理
選択公理を仮定することによって導かれる、一見、奇怪で非直観的な結果の中でも、バナッハ＝タルスキーのパラドックスは有名なもの
省3
680: 2023/06/22(木)18:58 ID:36dpfVbq(2/7) AAS
>>663
> ”R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使ってる”
もし箱の中身（そして列）が確率変数なら
R^Nのすべての要素（つまり無限列）を同値類に分けた上で
（注：ここでは選択公理はまったく使わない）
各同値類に対して１つの代表を選択する必要がある
（注：ここで選択公理を使う）
> 必要な代表は、例えば100列なら有限の100個の代表があれば足りる
> （100個以外は使わない）
それは100列を定数とする場合にのみ云える
省29
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