[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
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721(1): 2023/01/14(土)07:12 ID:ck+Y+SyD(1) AAS
含むガロア理論スレ立てた人って1の原始n乗根知らなかったんですか？
どんなギャグですか？
722: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)07:15 ID:AEfDxZC9(7/20) AAS
本日からこのスレは
基礎数学（特に三角関数・複素数）12
とタイトル変更しました
ま、１が三角関数も複素数も根本から分かってなかったら
円分体の計算全く出来んのムリないわ･･･
723: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)07:20 ID:AEfDxZC9(8/20) AAS
>>721
「1の原始n乗根」どころか、
そもそも三角関数も複素数も分かってなかった
って感じですね いやはや
やっぱり国立大学卒はフカシで
工業高校１年中退が真実のようです
というか、仮に万が一国立大学卒なら
日本の大学教育の空洞化がここまで進んだかと
嘆かざるをえないほど致命的です
これじゃ韓国・中国どころかラオス・ミャンマーにも負けるわ
724: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)07:27 ID:AEfDxZC9(9/20) AAS
まあ、三角関数や複素数を知らん1程度でも
経済学者にはなれるかもしれませんね
とある人に言わせると、経済学はlog知ってればOKらしいですから
ホントかどうか知りませんが まんざらウソでもなさそうです
725(1): 2023/01/14(土)07:30 ID:RimGxEMT(1) AAS
ガンマ関数を知らないとまずくない？
726: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)07:37 ID:AEfDxZC9(10/20) AAS
>>725
複素関数は知らなくても大丈夫じゃないか、ということらしいです
727: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)07:42 ID:AEfDxZC9(11/20) AAS
ちなみに、とある人にいわせると
「経済学者はロトカ・ヴォルテラの方程式も知らん
あいつらいったいなにやってんだかわからんな」
ということでした
どうも、サイクルが陽に現れない経済学はウソっぱちだといいたいようです
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
728: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)11:06 ID:AEfDxZC9(12/20) AAS
1の原始2乗根は-1
1の原始3乗根は(-1+√-3)/2と(-1-√-3)/2
さて
Q1. 1の原始4乗根は？
Q2. 1の原始6乗根は？
cosとかsinとか使わずに書いてね
729: わかるすうがく 近谷蒙 ◇nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)11:09 ID:AEfDxZC9(13/20) AAS
nを奇数とする
1の原始n乗根をζnとし、
これをQに添加した体をQ(ζn)とする
Q3．さて、1の原始2n乗根ζ2nは、Q(ζn)に含まれるか？
Yes/Noと、その理由を答えよ
730(2): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)11:22 ID:AEfDxZC9(14/20) AAS
nを5以上の奇数とする
cos(2π/n)＝ζn+1/ζnは、Q(ζn)の要素である
さて
Q4.sin(2π/n)=(ζn-1/ζn)*iが含まれるQ(ζm)で、最小のmはいくつか？
731: 2023/01/14(土)12:45 ID:8do4RO6e(1) AAS
χ２乗分布の特性関数は複素関数
732(2): 2023/01/14(土)14:22 ID:pTLy1rYf(2/9) AAS
1は「総実数体上の総虚2次拡大」なんて言葉は知らないだろうし
円分体（1のべき根の体）がそうだということも知らない。
Q(exp(2πi/11))であれば、その実数部分はQ(cos(2π/11))．
つまり、Q(exp(2πi/11))/Q(cos(2π/11))が虚の2次拡大。
では、sin(2π/11)はどこに入るか？
実は、Q(sin(2π/11))⊃Q(cos(2π/11))という
包含関係があり、Q(sin(2π/11))/Q(cos(2π/11))
は実の2次拡大であることが分かるので
sin(2π/11)はQ(exp(2πi/11))には含まれない。
Q(exp(2πi/44))に含まれる。こういう包含関係の
省3
733(1): 2023/01/14(土)14:26 ID:pTLy1rYf(3/9) AAS
>>730
>Q4.sin(2π/n)=(ζn-1/ζn)*iが含まれるQ(ζm)で、最小のmはいくつか？
m=4nですね。このとき
Q(ζm)=Q(ζn,i)=Q(ζn,sin(2π/n))が成立する。
いずれにしてもQ(ζm)/Q(ζn) は2次拡大で、それが最小。
734(3): 2023/01/14(土)14:32 ID:pTLy1rYf(4/9) AAS
一般の場合を考えてみよう。
m,nを互いに素な正整数（ただし、n≠1,2）とする。
Q(exp(mπi/n))の実数部分はQ(cos(mπ/n))で与えらえる。
つまり、Q(exp(mπi/n))は総実数体Q(cos(mπ/n))の総虚2次拡大。
これはいいだろう。問題は
Q(cos(mπ/n))とQ(sin(mπ/n))の関係。
これはnのみによって決まり
Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n)), （nが奇数のとき）
Q(cos(mπ/n))⊃Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れない偶数のとき）
Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れるとき）
省1
735(1): 2023/01/14(土)14:34 ID:pTLy1rYf(5/9) AAS
>これはnｂﾌみによって決ｂﾜり
ん？文字化け。
これはnのみによって決まり
736(2): 2023/01/14(土)14:50 ID:pTLy1rYf(6/9) AAS
大分前に書いたことがあるが、この事実から
θ=mπ/n のとき
√(1-(sinθ)^2), √(1-(cosθ)^2)
の少なくとも一つのルートが外れるという
著しいことが言える。しかも
αを無理数として
θ=απのときは、「ほとんどすべて」の
αに対しては上記のルートが両方とも外れないことも
別系統の簡単な議論から分かる。
737(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)15:01 ID:AEfDxZC9(15/20) AAS
>>732-736 こんにちは
>>730を出題したとき、あなたが以前書いてたことを思い出しました
やっぱり4nでいいんですね
sin(2π/n)*iだったら、もちろんQ(ζn)ですが、
iで割るには、iがないといけませんからねえ
ま、n=3なら、1/2だからQに入っちゃってますけど
（だからnが5以上だとした）
738(1): 2023/01/14(土)15:22 ID:pTLy1rYf(7/9) AAS
>>737
どうもです。覚えて下さっていて光栄ですｗ
数学的には決して難しい議論ではないはず
（体論の初歩程度）ですが
1は前スレで
>例えば、X^2=2 だとQ(√2)で2次だが、X^2=-2 だとQ(√2,i)と4次になる
とアホなこと書いていたくらいなので
正確に理解することは無理でしょうｗ
739(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)16:42 ID:AEfDxZC9(16/20) AAS
>>738
＞数学的には決して難しい議論ではないはず
＞（体論の初歩程度）ですが
アハハハハ💦
・・・すみません、以前も質問したかもしれませんが
＞Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n)), （nが奇数のとき）
は倍角の公式を使えばいいとわかったんですが
＞Q(cos(mπ/n))⊃Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れない偶数のとき）
がどうもわかりませんでした
n→2nのときには、左辺と右辺に変化ありましたっけ？
740(1): 2023/01/14(土)17:15 ID:pTLy1rYf(8/9) AAS
>>739
m/n+1/2=(2m+n)/2n でsinとcosが入れ替わるということから分かります。
>Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n))
を証明するのはやや難しく、倍角では行けないと思う。
大げさに言えば「ガロア群の計算」が必要。
Q(cos(mπ/n))=Kとおくと
Q(exp(mπi/n))=K(i*sin(mπ/n))で、これはKの虚2次拡大。
2が素数であることから中間体が存在しない、従って
i∈Q(exp(mπi/n))とsin(mπ/n)∈K が同値になる。
nが奇数のとき、i\not∈Q(exp(mπi/n))
省5
741: 2023/01/14(土)17:21 ID:pTLy1rYf(9/9) AAS
nが奇数のとき、倍角公式で行けるのは
（つまり高校レベル）
cos(mπ/n)∈Q(sin(mπ/n))で
sin(mπ/n)\not∈Q(cos(mπ/n))
の証明（大学レベル）は
上記の通りやや難しいという話。
742(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)17:29 ID:AEfDxZC9(17/20) AAS
>>740
>>Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n))
>を証明するのはやや難しく、倍角では行けないと思う。
>大げさに言えば「ガロア群の計算」が必要。
ああ、やっぱり難しいんですね
（簡単だったらどうしようかと思ってたｗ）
>Q(cos(mπ/n))=Kとおくと
>Q(exp(mπi/n))=K(i*sin(mπ/n))で、これはKの虚2次拡大。
そこはわかりました
>2が素数であることから中間体が存在しない、
省15
743: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)18:04 ID:AEfDxZC9(18/20) AAS
>>742
やっぱり私がカン違いしてましたね
>>734
＞m,nを互いに素な正整数（ただし、n≠1,2）とする。
＞Q(cos(mπ/n))⊂Q(sin(mπ/n)), （nが奇数のとき）
＞Q(cos(mπ/n))⊃Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れない偶数のとき）
＞Q(cos(mπ/n))=Q(sin(mπ/n)), （nが4で割れるとき）
2が掛かってないので半円
で、m,nは互いに素という条件で、
EXCELで計算すると確かにそうなってますね
744(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/14(土)19:27 ID:p/slNf5Z(1/7) AAS
>>713
> １の原始５５乗根の－１倍は１の原始１１０乗根。
> １の原始１１０乗根の－１倍は１の原始５５乗根。
ありがとう
下記Cyclotomic field
”Small examples n = 3 and n = 6: The equations ζ3={-1+√-3}/2 and ζ6={1+{√-3}/2 show that Q(ζ3) = Q(ζ6) = Q(√?3)”
に類似だね
例えば
ζ3 ＝cos 2π/3 +isin 2π/3
ζ6 ＝cos 2π/6 +isin 2π/6
省18
745(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/14(土)19:27 ID:p/slNf5Z(2/7) AAS
>>744
つづき
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
1の冪根
1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。
全ての自然数 n に対する 1 の原始n乗根を総称し、1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。
1の原始冪根
複素数の範囲では、1 の原始n乗根は n >= 3 のとき2つ以上存在する。ド・モアブルの定理より、
ζn =cos 2π/n +isin 2π/n
省21
746: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/14(土)19:46 ID:p/slNf5Z(3/7) AAS
>>436
>フーリエ解析の序章
>外部ﾘﾝｸ[html]:www.sugakushobo.co.jp
>杉山健一 著
本来ました
いま手元にあります
これを見ても
とても
代数方程式のべき根解法の
役に立つとは思えないね
747: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)20:54 ID:AEfDxZC9(19/20) AAS
>>744
＞ありがとう
違う そうじゃない
１ 君が真っ先にやることは
「私が間違ってましたぁぁぁぁぁ！」
とジャンピング土下座で額を地面に叩きつけて謝罪することｗ
さ、やってみ 工業高校１年中退のナニワのヤンキー
全身根性焼きされたくないだろ？ｗ
748(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/14(土)21:01 ID:AEfDxZC9(20/20) AAS
>>744
＞-ζ110 ＝cos 2π/110 -isin 2π/110
＞＝cos (2π/110+π)+isin (2π/110+π)
＞＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55)
＞＝ζ110^28
はい、最終行間違いｗ 正解はζ55^28ね
良質の工学技術者ならば、当然気づくべき間違い
根本の理解が出来てない
これ、工学屋ならば、致命傷
ま、死ななくていいよ
省2
749(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/14(土)23:21 ID:p/slNf5Z(4/7) AAS
>>712
再録
>>ζ110=-ζ55 なんですがｗｗ
>ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は
>ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i
>だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は
(引用終り)
１）代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する
２）一つは、下記の”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元”
こちらは、”原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる”
省13
750: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/14(土)23:21 ID:p/slNf5Z(5/7) AAS
>>749
つづき
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Primitive root modulo n
Definition
If n is a positive integer, the integers from 0 to n - 1 that are coprime to n (or equivalently, the congruence classes coprime to n) form a group, with multiplication modulo n as the operation; it is denoted by Z^×n, and is called the group of units modulo n, or the group of primitive classes modulo n.
As explained in the article multiplicative group of integers modulo n,
this multiplicative group (Z^×n) is cyclic if and only if n is equal to 2, 4, p^k, or 2p^k where p^k is a power of an odd prime number.[2][3][4]
When (and only when) this group Z^×n is cyclic, a generator of this cyclic group is called a primitive root modulo n[5] (or in fuller language primitive root of unity modulo n, emphasizing its role as a fundamental solution of the roots of unity polynomial equations X^m - 1 in the ring Zn), or simply a primitive element of Z^×n.
When Z^×n is non-cyclic, such primitive elements mod n do not exist. Instead, each prime component of n has its own sub-primitive roots (see 15 in the examples below).
省2
751(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/14(土)23:32 ID:p/slNf5Z(6/7) AAS
>>712
>>ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110
>>と馬鹿丁寧に書かんと分からんだろうな
さて、次はこれね
”ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110”
最初と最後をつなぐと
ζ110=-1*ζ110
これで、右辺を左辺に移項して
2*ζ110=0
よって
省3
752: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/14(土)23:39 ID:p/slNf5Z(7/7) AAS
>>748
>＞＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55)
>＞＝ζ110^28
>はい、最終行間違いｗ 正解はζ55^28ね
おお、ありがとうね
>>744を 早速修正
＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55)
＝ζ110^28
↓
＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55)
省2
753(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)07:12 ID:KCopoF1R(1/46) AAS
>>749
>代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する
それ、乗法群(Z/nZ)× と 加法群(Z/nZ) の違い
>一つは、”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元”
>こちらは、”原始根が存在するのは n が 2, 4, p^k, 2p^k (p は奇素数 kは自然数) の場合に限られる”
上記がベキ乗()^aで巡回する場合の(指数の)乗法群の生成元a（指数は×a)
たとえばmod 5のときの
1→2→4→3→1 の2
1→3→4→2→1 の3
>もう一つは、 ”1の原始冪根”に関して、
省10
754: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)07:14 ID:KCopoF1R(2/46) AAS
>>751
はっはっは よく見つけたね、エライエライ（真上から見下ろす）
>ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-1*ζ110
正しくは
ζ110=-(ζ55^28)=-(ζ110^56)=-(-1*ζ110)
1クン、直すならここまでやらないと高校の数学の試験でペケだよ
じゃあね~~~
755: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)07:28 ID:KCopoF1R(3/46) AAS
>>749
>「ζ110=-ζ55」とは？ なんだかね。 微笑ましいねｗｗｗ
その発言が、嘆かわしいね
上記の場合、加法群（Z/110Z）および（Z/55Z）でしか考えていない
（ここでいう加法は指数における加法
巡回の操作が「原始根を掛ける」から乗法群
とかいうのは初歩的誤解）
nが奇数の場合、
1のn乗根ζn^m(m=0~n-1)の、どれをとっても
ζn^l=-ζn^m となるl,mは存在しない
省2
756(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)10:47 ID:fdSQKtbP(1/21) AAS
>>753
>>代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する
>それ、乗法群(Z/nZ)× と 加法群(Z/nZ) の違い
違うよ
原始根の一つは、乗法群(Z/nZ)×関連で
石井本「ガロア理論の頂を踏む」の第1章 9,10節の「原始根」にあるけど
さらに、11節「既約剰余類群を解剖する-(Z/pZ)×の構造」につながって
11節の最後に”この定理は最後のピークの定理を証明するときに大活躍します”とある
つまり、ガロア理論の群論側で活躍するのだが、円分体でも活躍するってことだね
（石井本では、第4章 3～6節、第6章 1、6節）
省30
757(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)10:48 ID:fdSQKtbP(2/21) AAS
>>756
つづき
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
体の拡大
代数性・超越性
K/k を体の拡大とするとき、K の元 α が k 上代数的（だいすうてき、algebraic over k）であるとは、k 係数多項式 f(X) で α が f(X) の根となるようなものが存在するときにいう[6]。k 上代数的な K の元 α を根に持つ k 係数多項式でモニックかつ次数最小のものを α の k 上の最小多項式（さいしょうたこうしき、minimal polynomial）とよび[7]、Irr(α, k, X) のように記す。拡大 K/k で K の各元がすべてk 上代数的であるとき、拡大 K/k は代数的であるといい[8]、K を k の代数拡大体という。拡大 T/k がk 上代数的でないとき、拡大 T/k は超越的（ちょうえつてき、transcendencial）であるという[8]。T の元 t はk 上代数的でないとき k 上の超越元という。t がk 上超越的であることは、「k 上の多項式 f(X) が f(t) = 0 となるならば f = 0 である」ことと同値であり「k に t を添加した体 k(t) は一変数代数関数体 k(X) に同型である」こととも同値である。拡大 T/k が超越的であることは、k 上超越的な T の元 t が少なくともひとつ存在する事と同値である。
(引用終り)
以上
758: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)11:21 ID:KCopoF1R(4/46) AAS
>>756
>>それ、乗法群(Z/nZ)× と 加法群(Z/nZ) の違い
>違うよ
すぐ、考えなしに脊髄反射で「違うよ」というから間違うんだよ 1は
>もう一つは、
>K の元 αを一つ添加すると、
>k(α)に、α,α^2,α^3・・,α^n,・・が含まれることになる
だからそれが円分体の場合、(Z/nZ)
1のn乗根で、mがnの約数だったら、
aをcos(2π/m)+sin(2π/m)iとした場合
省11
759: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)11:25 ID:KCopoF1R(5/46) AAS
1は論理がないから、他人をペテンで誑かそうとする
話を無闇に大袈裟に広げるのはその手段の一つ
でも数学屋には通用しない
無関係な話は容赦なく枝刈りするから
その結果1の云ってることは
「俺は
ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110)
ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55)
だと決めつけた それしか知らんから」
しかなくなる
省2
760: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)11:52 ID:KCopoF1R(6/46) AAS
1の12乗根の場合
ζ12_m=cos(2πm/12)+i sin(2πm/12)
として、m=1,5,7,11の４つが原始根
(これが(Z/12Z)の生成元)
0→1→2→3→4→5→6→7→8→9→10→11→0
0→5→10→3→8→1→6→11→4→9→2→7→0
0→7→2→9→4→11→6→1→8→3→10→5→0
0→11→10→9→8→7→6→5→4→3→2→1→0
761(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)12:35 ID:fdSQKtbP(3/21) AAS
>>732
>sin(2π/11)はQ(exp(2πi/11))には含まれない。
>Q(exp(2πi/44))に含まれる。こういう包含関係の
なるほど
それ面白いね
下記Cyclotomic fieldで
n=2については、トリビアすぎで記載がないが、
x^2=1 では、x=1,-1 で、Q(-1) = Qにしかならない
・>>744に書いたけど、n=k (k奇数)では、k→2kを考えても、意味が無い
・一方、下記n = 4で、ζ4 = i,Q(ζ4) = Q(i)だから
省21
762(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)12:41 ID:fdSQKtbP(4/21) AAS
>>756 補足
そもそも
「ζ110=-ζ55」がアホ
Q(ζ110)=Q(-ζ55)とでも書けば
格好はついたろう
こういう粗雑な書き方をすると
体論や体の拡大が、分かってないと
判断されてもしかたない
院試なら、首が飛ぶかもね
763(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)13:44 ID:fdSQKtbP(5/21) AAS
>>761 補足
>・Q(ζ55)には、虚数単位iは含まれないかな？
下記 Cyclotomic fields Proposition 2 があるね
これによると、google訳
”n と m が互いに素な自然数の場合、2 つの円分体 Q(ξn) と Q(ξm) は線形に素になります。
それらの合成 Q(ξn, ξm) は Q(ξnm) に等しく、Q(ξn) ∩ Q(ξm) = Q です”
だから、”Q(ζ55)には、虚数単位iは含まれない”は、正しいね
(参考)
外部ﾘﾝｸ:www.uio.no
Universitetet i Oslo
省12
764(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)14:08 ID:fdSQKtbP(6/21) AAS
>>763 追加
”CYCLOTOMIC FIELDS
WITH APPLICATIONS” 188ページものPDF
リンク貼る
そこそこ纏まっている気がする
あと、2018と新しいのが良い
FFTとDFT（離散フーリエ）にも触れているが
CYCLOTOMIC FIELDSが、FFTとDFTの基礎になっているみたいなニュアンスと読んだ
file:///C:/Users/seta/Downloads/cyclotomic_fields2018.pdf
CYCLOTOMIC FIELDS
省24
765(2): 2023/01/15(日)14:20 ID:YxPYvmSW(1/4) AAS
>そもそも
>「ζ110=-ζ55」がアホ
アホのお前が言うかとｗ
そもそも1のアホな誤り>>692の誤りを明確に指摘するのが
「ζ110=-ζ55」
その意味するところは、「1の原始55乗根の-1倍は1の原始110乗根」
ということであり、誰も「exp(2πi/110)=-exp(2πi/55)」
なんて言ってない。そんなことは分かってるくせに
口惜しさ紛れに言い返しているのが1ｗ な〜にが
>辻褄はあっているだろう（692より）
省1
766(1): 2023/01/15(日)14:24 ID:YxPYvmSW(2/4) AAS
もうひとつ笑わかせてもらったのが
>良質の工学技術者
ね。ハハハ〜ハハハハ〜腹痛いわｗｗｗ
767(2): 2023/01/15(日)14:36 ID:YxPYvmSW(3/4) AAS
>>720
前言ってたことによると、修士を途中で辞めたのでは？
先輩から誘われたかで就職の話があって
それに乗ったとか言ってたように思うけど。
こんなバカヤローが博士論文なんて絶対書けないってｗ
どうせ大学院だって、教授を得意の暗記で
だまくらかして、潜り込んだだけでしょｗ
768(1): 2023/01/15(日)14:44 ID:YxPYvmSW(4/4) AAS
1の書くことからは、頭の中に数学の構造物
岡潔の言う「数学的自然、箱庭」がまったく
感じられない。バラバラの知識の寄せ集めしかないと思う。
しかし、考え方というのは分野によらず習慣だから
工学だって出来るひとは、やっぱり頭の中に
「箱庭」のような構造物は出来てるんじゃないかな。
それがなくて、今さら「フーリエ解析の序章」
の本買ってるようじゃ、工学でもダメダメなんだろう。
769(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)15:13 ID:fdSQKtbP(7/21) AAS
>>764 追加
外部ﾘﾝｸ[pdf]:ericmoorhouse.org
外部ﾘﾝｸ:ericmoorhouse.org
G. Eric Moorhouse:
Handouts
Number Theory
18．A first (very rough) working version of Cyclotomic Fields with Applications. Lecture notes for Fall 2018 course
外部ﾘﾝｸ:ericmoorhouse.org
G Eric Moorhouse
my email
省11
770(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)15:23 ID:fdSQKtbP(8/21) AAS
>>765
>>「ζ110=-ζ55」がアホ
>アホのお前が言うかとｗ
>そもそも1のアホな誤り>>692の誤りを明確に指摘するのが
>「ζ110=-ζ55」
蕎麦屋のおっさんか？
「ζ110=-ζ55」なんて
こんなアホなこと
数学ができる人ほど、”書け”と言われても
気持ち悪くなって、絶対書かないと思うぜ
省10
771(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)15:30 ID:KCopoF1R(7/46) AAS
>>761
>sin(2π/11)はQ(exp(2πi/11))には含まれない。Q(exp(2πi/44))に含まれる
>なるほどそれ面白いね
つまらんね
sin(2π/11)*iならQ(exp(2πi/11))に含まれる
iがQ(exp(2πi/4n))にしか含まれないからQ(exp(2πi/44))に含まれる、
となるだけのこと
>>762
>そもそも「ζ110=-ζ55」がアホ
その発言がダラズ 原始根が分かってなかった証拠
省6
772(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)15:39 ID:KCopoF1R(8/46) AAS
>>763
>”n と m が互いに素な自然数の場合、
>2 つの円分体 Q(ξn) と Q(ξm) は線形に素になります。
>それらの合成 Q(ξn, ξm) は Q(ξnm) に等しく、Q(ξn) ∩ Q(ξm) = Q です”
>だから、”Q(ζ55)には、虚数単位 i は含まれない”は、正しいね
三角関数の加法公式も、複素数の乗法も、全然分かってない
工業高校１年中退の君が、いくら闇雲に知識だけあさって拾い食いしても
腹壊すだけだから、高校数学から勉強しような 大学数学はその後だ
>>764
まず三角関数から勉強しような フーリエ変換はその後だ
773(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)15:53 ID:fdSQKtbP(9/21) AAS
>>436
前スレより
2chｽﾚ:math
種を明かすと>>372の方程式
x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
の左辺は
Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
方程式のガロア群は5次の巡回群であり、代数解法が可能。
その解法にはζ_5が必要だが
最小分解体にはζ_5は「含まれない」が正解。
省18
774: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)15:55 ID:KCopoF1R(9/46) AAS
>>765
ま、工業高校１年中退で、その後
うるさいクラクションならしてオートバイ転がしてた
ナニワのヤンキー君だったとおもえば
いくらワカランチンな憎たれ口書いてもしかたないな
1君の人生は悔しいことばっかりだったんでしょう（憐れみ）
>>766
1君は三角関数も知らんくらいだから計算は全然できないんでしょう
職場で本物の大阪大学工学部卒修士修了の人に
「やれやれ・・・ま、高校中退じゃわからなくても仕方ないか」
省18
775: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)16:00 ID:KCopoF1R(10/46) AAS
>>769
ヤンキー君 むきになってコピペしても無意味だよ
君が真っ先にやることは、高校の参考書で
高校数学から勉強すること
>>770
>蕎麦屋のおっさんか？
蕎麦屋でもうどん屋でもどっちでもよろしい
さっさと三角関数から勉強しなおそう
ま、でも三角法から始めて三角関数の加法定理の幾何学的証明をやるって
三角関数の学習法として適切なのかどうか大いに疑問はあるけどね
776(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)16:07 ID:fdSQKtbP(10/21) AAS
>>771
>>そもそも「ζ110=-ζ55」がアホ
>その発言がダラズ 原始根が分かってなかった証拠
はいはい
代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する>>749
あんたは
”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元”
を想定してたんだ>>749
でも、”1の原始冪根”の議論のときは
ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110)
省3
777(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)16:13 ID:fdSQKtbP(11/21) AAS
>>772
>まず三角関数から勉強しような フーリエ変換はその後だ
フーリエ変換ね
>>251だったね
"で、わたしが大学の頃レポートで書いたのは
要するに、アーベル群A=G/[G,G]の元σと指標χ∈A^
として
Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)
という指標和を考えてやると、これがべき根になっていて
（実際、この和を(χ,θ)とおくとσ(χ,θ)=χ(σ)^{-1}(χ,θ)
省7
778: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)16:18 ID:KCopoF1R(11/46) AAS
>>773
>方程式x^5 + 6 x^4 - 12 x^3 - 32 x^2 + 16 x + 32=0
>の根をα1,α2,α3,α4,α5 として
>最小分解体 Q(α1,α2,α3,α4,α5)だが、
ここまでは何も考えずに脊髄反射ね
それ数学が分かったとはいえない、って悟ろう
分かってないのに分かったというのが、一番ダメ
>Q(cos(2kπ/11))に等しい
これは解から自明
>また、1の11乗根ζ11＝cos(2π/11)+i sin(2π/11)として
省17
779: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)16:28 ID:KCopoF1R(12/46) AAS
>>776
>あんたは”n を法とする原始根”で、
>”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元”
>を想定してたんだ
ざんね~ん
（指数の）加法に関して成す巡回群(Z/55Z)および(Z/110Z)の生成元
を想定してま~す (指数の)乗法群じゃありませ~ん
ま、でもこんな（大学行ったことない人には）「難しい」こと
（高校も１年で中退して卒業しなかった）1君にいってもわかんないか
省15
780(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)16:38 ID:fdSQKtbP(12/21) AAS
>>708 追加
外部ﾘﾝｸ[html]:mathsoc.jp
日本数学会
数学通信第１０巻第３号目次 （２００５年度）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:mathsoc.jp
カナダの数学
由井典子 (Queen's 大学数理科学研究科) 数学通信（２００５年度）
7．まとめ
現在，カナダの数学は活気に溢れています．社会とのつながりを深めようとする活動が
数学の全分野にわたって盛んです．数理生物学，数理金融論，数理医学，数理物理学など
省6
781(2): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)16:45 ID:KCopoF1R(13/46) AAS
>>777
1君が真っ先に学ぶべきこと
１．絶対値1の２つの複素数を
ｚ＝cos(θ)＋sin(θ)i
w =cos(φ)＋sin(φ)i
と表したとき、その積
z*w =(cos(θ)cos(φ)-sin(θ)sin(φ))+(cos(θ)sin(φ)+sin(θ)cos(φ))i
は、三角関数の加法定理により
cos(θ+φ)+sin(θ+φ)i
と等しくなる。
省11
782(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)16:50 ID:KCopoF1R(14/46) AAS
>>781
＞２．絶対値1の複素数
＞ ｚ＝cos(θ)＋sin(θ)i
＞ のべき z^n は、三角関数の加法定理により
＞ cos(nθ)＋sin(nθ)i と等しい
＞ したがってｌ乗とｍ乗の結合が角度の（ｌ×ｍ）倍という積に変換される
＞ （ゆえに、乗法群(Z/nZ)×は、円分体の円のｎ等分点の積ではなく
＞ ベキ乗操作の結合によるものである）
ここ、ウカツな1は、まず一読で理解できない筈なので追加説明
要するに
省2
783(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)16:57 ID:fdSQKtbP(13/21) AAS
>>780 追加
ガロアの逆問題
”2002, Jensen, Ledet and Yui2770-FKK [JLY-2002]”
外部ﾘﾝｸ:www2.tsuda.ac.jp
数学史シンポジウム報告集
外部ﾘﾝｸ:www2.tsuda.ac.jp
第15回数学史シンポジウム(2004.10.16?17) 所報 26 2005
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www2.tsuda.ac.jp
ガロアの逆問題について三宅 克哉(東京都立大学・理学研究科)
Ｐ７
省7
784: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)16:59 ID:KCopoF1R(15/46) AAS
>>781-782
まとめ
１．(z^l)*(z^m)=z^(l+m)
２．(z^l)^ｍ=z^(lm)
1．の場合、z^lとz^mの積、が lとmの和 となるから素人でもわかる
2．の場合、^lと^mという操作の結合が、lとmの積 になるので素人はつまづきやすい
785: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)17:01 ID:KCopoF1R(16/46) AAS
>>780 >>783
1君は「釈迦に説法」といいたいようですが
君が釈迦じゃないから説法してるんだよｗ
ま、🐎に念仏ということわざもあるが・・・
786: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)17:08 ID:KCopoF1R(17/46) AAS
三角関数の何をまず理解すべきか、と問われたら
「三角関数の幾何学的性質」とか
「加法定理の幾何学的証明」とか
答えるつもりはない
三角関数cosとsinは、
「絶対値１の複素数を底とする指数関数」
であるというのが根本
（その場合、加法定理は関数が満たすべき性質になってしまうが）
まあ、幾何学的性質は知っといたほうがいいんですけど
今やそれが主ではないだろう、というつもりで書いた
787: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)17:12 ID:KCopoF1R(18/46) AAS
で、三角関数で弧度法を用いるのは
「微分係数の乗数がｉになるようにしたいため」
であって、指数関数でeを底とする理由
「微分係数の乗数が１となるようにしたいため」
と同じ
788: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)17:21 ID:KCopoF1R(19/46) AAS
>>777
＞"わたしが大学の頃レポートで書いたのは
＞要するに、アーベル群A=G/[G,G]の元σと指標χ∈A^として
＞Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)
＞という指標和を考えてやると、これがべき根(*)になっていて
＞すべてのχ∈A^についての(χ,θ)から(**)
＞アーベル方程式の根θのべき根表示が一挙に得られるという話。"
＞（* 実際、この和を(χ,θ)とおくと
＞ σ(χ,θ)=χ(σ)^{-1}(χ,θ)が成立するから、
＞ (χ,θ)の適当なべき乗はガロア群の作用で不変）
省9
789: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)17:39 ID:KCopoF1R(20/46) AAS
結局１は高校数学が理解できてなくて
計算すればわかることも
「工学者の勘」とかに頼って
初歩的な誤りの罠に落ちる
その繰り返し
当人だけが自分の誤りを決して認めない
彼の人生は15からずっと連戦連敗
790(3): 2023/01/15(日)18:54 ID:GJnuBL0N(1) AAS
>770
何を勝手に人の名前読んでんだ此のHorsedeerが
相変わらず勉強の仕方も人の区別もメクラ判だなぁお前
お前の言う「理解を深めるには今の学習内容を先の学習内容を眺めるといい」って
単に、高くくり感覚ごときや何となく感覚ごときで先取りチョンボの俄か判断で分かった積もりに成るメクラ判つまり知ったか行為だろ
お前みたいなのが現場ネコに成るんだな
「詳しくは分からんが何となく分かった気に成ったので理解したヨシ！」の過信バカ
791(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)19:58 ID:KCopoF1R(21/46) AAS
>>790
1は所詮感覚だけで生きてるナニワのヤンキーですから
論理なんて生まれてから一度も理解したことないんですよ
792(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)20:01 ID:fdSQKtbP(14/21) AAS
>>773
>Π_{k=1}^{5}(x-1/cos(2kπ/11)).
p=11ね
下記のGaloisは、Chevalierへの手紙で
楕円曲線の等分問題で、p = 11の解法を取り上げている
英文によるfulltextを探すと、下記がヒットしたので貼る
彼は、20歳で亡くなったという
存命ならば、ここらは論文として出版されたろうに
なお、GaloisのChevalierへの手紙については
下記高木先生の近世数学史談でも、これは取り上げられている
省30
793: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)20:03 ID:fdSQKtbP(15/21) AAS
>>790
これはこれは
こっちが蕎麦屋さんか
今年もよろしくね
794: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)20:13 ID:KCopoF1R(22/46) AAS
>>792 完全に発●してますな
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
795: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)20:19 ID:KCopoF1R(23/46) AAS
1には生涯縁のない話 その１
外部ﾘﾝｸ:tsujimotter.はてなブログ.com/entry/modular-curve-1
796(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)20:20 ID:fdSQKtbP(16/21) AAS
>>790-791
まあ、いいじゃん
しょせん、５ｃｈなんて、あんまり分かって居る人いない
同じ穴の狢よ
蕎麦屋のおっさんに、蕎麦屋もどきのおっさん
落ちこぼれ1号と2号
それに私スレ主なｗ
ああ、>>773の問題は面白かったよ
GaloisのChevalierへの手紙>>792まで
思い出した
省19
797: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)20:21 ID:KCopoF1R(24/46) AAS
1には生涯縁のない話 その２
外部ﾘﾝｸ:tsujimotter.はてなブログ.com/entry/modular-curve-2
798: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)20:26 ID:KCopoF1R(25/46) AAS
>>796
よくないな
他人が分かってないから自分が分かってなくていい、ということにはならない
そもそも他人が分かってない、というのが誤り
５ｃｈでも数学分かってる人が沢山みてるから
１みたいな高校中退ヤンキーが付け刃でイキがると
本物の日本刀で思いっきり真っ二つにぶった切られる
799(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)20:28 ID:KCopoF1R(26/46) AAS
1には生涯縁のない話 その３
外部ﾘﾝｸ:tsujimotter.はてなブログ.com/entry/elliptic-curve-as-a-complex-torus
800(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)20:29 ID:KCopoF1R(27/46) AAS
1には生涯縁のない話 その４
外部ﾘﾝｸ:tsujimotter.はてなブログ.com/entry/modular-curve-4
801(1): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)20:33 ID:KCopoF1R(28/46) AAS
1には生涯縁のない話 その５
外部ﾘﾝｸ:tsujimotter.はてなブログ.com/entry/modular-curve-5-mazur-theorem
802(2): わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)20:42 ID:KCopoF1R(29/46) AAS
素人が数学者になれるかもという安易な期待を
木っ端微塵に打ち砕いてくれるページ
外部ﾘﾝｸ[html]:math.mit.edu
Φ2でザセツしました（早っ！）
803: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)20:55 ID:KCopoF1R(30/46) AAS
ところで1君、まさか”p=11”で🐎🦌検索してない？
804: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)20:59 ID:KCopoF1R(31/46) AAS
1君には分からない問題
p=7の 1,2,4 と 3,6,5
p=11の 1,3,4,5,9 と 2,6,8,10,7
この区別、なーんだ？
805: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)21:13 ID:KCopoF1R(32/46) AAS
それにしても、やはり整数論は恐ろしい
円分多項式で浮かれていたら笑われる
モジュラー多項式ありゃなんじゃ
ああこわいこわいこわい
806: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)21:15 ID:KCopoF1R(33/46) AAS
ということで
807: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)21:15 ID:KCopoF1R(34/46) AAS
このHNは･･･
808: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)21:17 ID:KCopoF1R(35/46) AAS
･･･これでおしまい！
工業高校中退の●違いヤンキーの相手してると🐎🦌になるので消える
１もいつまでも🐎🦌検索やってないで、三角関数から勉強しろよ
809(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)21:35 ID:fdSQKtbP(17/21) AAS
>>792
>なお、GaloisのChevalierへの手紙については
>下記高木先生の近世数学史談でも、これは取り上げられている
下記、矢ヶ部 巌
「数III方式 ガロアの理論」
でも
第1章”ガロアの遺書を読む”
に、全文和訳が載っている
図書館などで読むと
参考になるだろう
省21
810(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)21:48 ID:fdSQKtbP(18/21) AAS
>>802
>素人が数学者になれるかもという安易な期待を
>木っ端微塵に打ち砕いてくれるページ
>外部ﾘﾝｸ[html]:math.mit.edu
・意味分からんぞ
・そのModular polynomialsって、数式処理でやっているよね？
コンピュータパワー使って
・それって、πの小数計算で
昔の学者が手計算で700桁超えまで計算して、
コンピュータが出来て、検算したら500桁を少し超えて
省8
811(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)22:43 ID:fdSQKtbP(19/21) AAS
>>802
>素人が数学者になれるかもという安易な期待を
>木っ端微塵に打ち砕いてくれるページ
>外部ﾘﾝｸ[html]:math.mit.edu
あんたの数学観が、20世紀のもので
古いと思うぜ
>>780より
再録
日本数学会
数学通信第１０巻第３号目次 （２００５年度）
省21
812(1): 2023/01/15(日)22:53 ID:KCopoF1R(36/46) AAS
AA省
813: 2023/01/15(日)22:55 ID:KCopoF1R(37/46) AAS
AA省
814: 2023/01/15(日)22:56 ID:KCopoF1R(38/46) AAS
AA省
815: 2023/01/15(日)23:00 ID:KCopoF1R(39/46) AAS
AA省
816: 2023/01/15(日)23:02 ID:KCopoF1R(40/46) AAS
AA省
817: 2023/01/15(日)23:03 ID:KCopoF1R(41/46) AAS
AA省
818: 2023/01/15(日)23:08 ID:KCopoF1R(42/46) AAS
１は、１を７で割ってろ
余り、見たか？
３，２，６，４，５，１，・・・
だろ？
これ、みて、何か気づいたか？
気づくまで、書き込むなよ
省1
819(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)23:15 ID:fdSQKtbP(20/21) AAS
>>799-801
tsujimotter.はてなブログね
良いと思うが
modular-curve-4 は正直分からないが
望月IUTにも関連していたんじゃないかな？
tsujimotter.はてなブログは、
クロネッカー ウェーバーは、読んでみようと思っている
分かり易く書いてくれているし
彼は、いわゆる本職の数学者じゃないでしょ？
多分数学科出身者と思うけど
省1
820: 2023/01/15(日)23:22 ID:fdSQKtbP(21/21) AAS
age
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