[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）10 (967ﾚｽ)
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435(1): 2022/04/14(木)17:08 ID:73EXi+FU(4/5) AAS
>>434
つづき

(1) 0 ∈ Z＾ の近傍として, {nZ＾ | n ∈ N} が取れる。
(2) Z＾ は Hausdorff, コンパクト, 全不連結な位相環。
(3) 自然な射 Z → Z＾ は単射。

P12
(2.4.12) 命題. m ∈ N に対し, Z＾/mZ＾ ? Z/mZ.
(証明). 以下, Z＾ を lim←-Z/nZ ⊂Q
Z/nZ と同一視して考える。
略
省22

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436: 2022/04/14(木)17:09 ID:73EXi+FU(5/5) AAS
>>435
つづき

P14
(2.4.18) 命題. Qp ＝〜 Zp[1/p] ＝〜 Zp 〇xZ Q.
(証明). 証明は省略する。
(2.4.19). 一方, Z＾ は整域ではない。実際, 次の同型がある。
(2.4.20) 命題. 位相環として, Z＾ ＝〜ΠZp. ただし右辺では p は全ての素数を動く。
(証明).
略
極限は位相環の圏で考えているので, 位相環として同型。
省10

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