[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）10 (967ﾚｽ)
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434(2): 2022/04/14(木)17:08 ID:73EXi+FU(3/5) AAS
>>433
つづき

ただし, Z/nZ には離散位相を入れる。この逆極限は,
lim←-Z/nZ ={n(xn) ∈Yn∈NZ/nZn | m なら φnm(xm) = xn}
および lim←-Z/nZ →ΠZ/nZ と各 n に対する射影 pn :ΠZ/nZ → Z/nZ の合成 φn の組 (lim←-Z/nZ, φn) と
して構成できる。なお φnm(xm) = xn なる条件は xm ≡ xn (mod n) とも書ける。逆極限を上の組と同一視
すると, その要素は
(この図はたいへん分かり易く面白いが、５ｃｈの板には描けないので直接みること)
のような xn の系列 (xn) のことだと思える。この場合自然な射 φn : lim←-Z/nZ → Z/nZ は x = (xn) ∈lim←-Z/nZ に対し, φn(x) = xn となるものである。こうして定まる逆極限を
(2.4.11.1) Z＾ := lim←-Z/nZ
省13

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435(1): 2022/04/14(木)17:08 ID:73EXi+FU(4/5) AAS
>>434
つづき

(1) 0 ∈ Z＾ の近傍として, {nZ＾ | n ∈ N} が取れる。
(2) Z＾ は Hausdorff, コンパクト, 全不連結な位相環。
(3) 自然な射 Z → Z＾ は単射。

P12
(2.4.12) 命題. m ∈ N に対し, Z＾/mZ＾ ? Z/mZ.
(証明). 以下, Z＾ を lim←-Z/nZ ⊂Q
Z/nZ と同一視して考える。
略
省22

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476(1): 2022/04/19(火)10:19 ID:RlB8Ss2B(2/2) AAS
>>432-434 追加
外部ﾘﾝｸ:www.math.s.chiba-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.s.chiba-u.ac.jp
極限 (2012〜)千葉大の4年生、院生向けの極限の紹介文 千葉大学大学院理学研究科 松田茂樹
P8
その要素は(略)のような xn の系列 (xn) のことだと思える。この場合自然な射 φn : lim←-Z/nZ → Z/nZ は x = (xn) ∈lim←-Z/nZ に対し, φn(x) = xn となるものである。こうして定まる逆極限を
(2.4.11.1) Z＾ := lim←-Z/nZ
と書き, ゼットハットないしはズィーハットと呼ぶ。この位相環は古くは Prufer (プリュファー) 環と呼ばれ
ており, 数論では様々な場面に現れる。
(引用終り)
省20

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