[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 62 (1002ﾚｽ)
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72(1): 2021/12/10(金)07:32 ID:TDfmt48z(2/4) AAS
>>71
つづき
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数学基礎論の勉強ノート
fujicategory
2011-07-21
レーヴェンハイム・スコーレムの定理！！
公理系Ｔが無限モデルを持てば、可算モデルも不可算モデルも持ちますよ！それどころかどんな大きな濃度のモデルも持ちますよ！っていう定理です。ちょっとテンションが上がってきますねー(∩´∀｀)∩
まずは定理の引用から。（新井敏康「数学基礎論」より）
定理５.１.７（上方(Upward)Lowenheim-Skolem 定理）
省6
743(10): 2021/12/25(土)09:39 ID:cd4R5XTj(2/9) AAS
>>742
つづき
3）さて、無限公理で、ノイマン構成の任意のaに対してその後者suc(a)を含む集合が存在して、それは結局は無限集合となる
その無限集合には、ネスト深さ無限の要素が含まれなければならない
（もし有限のネスト深さの要素しか含まれないならば有限集合でしかなく矛盾。
勿論、自然数Nの任意の元nはどれをとっても有限だが、nには上限がないってところがミソだ(レーヴェンハイム・スコーレム>>72)）
4）これを、ツェルメロのシングルトンについて見ると
・シングルトンは、ネスト深さｎで最も単純な集合{・・{Φ}・・}である（濃度(card)1でもある）
・ノイマン構成で全ての順序数の体系がそろった。順序数ωなる集合も出来たとする。その集合はネスト深さωと考えられる（少なくとも有限ではない）
・そして、ωzはネスト深さωで最も単純な集合と考えられる
省10
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