[過去ﾛｸﾞ] どうして保型形式で数論がわかるの・・・？ (99ﾚｽ)
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6(1): 2021/10/20(水)02:40 ID:owgijOpm(1/2) AAS
代数的整数論で中心的な役割を果たす代数多様体は、楕円関数(n=1)、K3曲面（n=2）、カラビ・ヤウ多様体（n>2）になる。
高木「近世数学史談」に出てくるように、一番簡単な例が楕円関数（レムニスケート）だ。
谷山–志村予想は、そのような楕円関数はモジュラー（保型形式）であると保証してくれている。
ガウスが平方剰余の相互法則を黄金定理と呼んだ理由も、「整数論考究」の第７章で書いているように、高次剰余の相互法則において数論の秘密（楕円関数）を宿していると考えたから。
これはアイゼンシュタインが４次剰余の相互法則と楕円関数の関係を証明し、正しかったことがわかった。
実際、ガウスから190年ほど経って黄金定理はっもっと一般化され、ワイルズが「R＝T定理」と谷山–志村予想を証明し、さらにフェルマーの大定理を証明した。
それは代数的整数論の歴史における一大事件だった。
20: 2022/07/14(木)21:59 ID:b2FZK3Kg(2/3) AAS
周期格子のうち、ニーマイアー格子（Niemeier lattice）は、ラマヌジャンによって発見されたmock theta函数との不思議な関係にある。（Umbral moonshine、Ono 2015）
もともと、「マシュー群M24」と楕円函数より次元の高い代数多様体である「K3曲面」（>>6）とが関係する「マシュームーンシャイン現象」が知られていたが、これを一般化したものである。
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