[過去ﾛｸﾞ] 箱入り無数目を語る部屋 (1002ﾚｽ)
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613(7): 2021/08/12(木)18:05 ID:WarIZ5CS(15/15) AAS
>>611
どうやって？
623: 2021/08/13(金)11:52 ID:3KF9NHro(1/13) AAS
>>613
１：時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱が可算無限個ある。箱それぞれに、私が実数を入れる。どんな実数を入れるかはまったく自由。
例えばn番目の箱に e^π を入れてもよいし、すべての箱にπを入れてもよい。
勿論デタラメでも構わない。そして箱を全部閉じる。
今度はあなたの番である。片端から箱を開けて行き中の実数を覗いてよいが、1つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならないとしよう。
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決め得る。勝負のルールはこうだ。
もし閉じた箱の中の実数をピタリといい当てたら、あなたの勝ち、さもなくば負け。
勝つ戦略はあるでしょうか?」
624: 2021/08/13(金)11:55 ID:3KF9NHro(2/13) AAS
>>613
２：続けて時枝はいう
私達のやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている。
但しもっと厳しい同値関係を使う。
実数列の集合 R^N を考える。
s＝(s_1、s_2、s_3、……)、s'=(s'_1、s'_2、s'_3、……)∈R^N について、
或る番号から先の項が一致する ∃n_0：n≧n_0 → s_n＝ s'_n とき、
同値 s 〜 s' と定義する(いわばコーシーのべったり版)。
念のため推移律をチェックすると、sとs'が1962番目から先一致し、
s'とs"が2015番目から先一致するなら、sとs"は2015番目から先一致する。
省8
626(1): 2021/08/13(金)11:57 ID:3KF9NHro(3/13) AAS
>>613(続き)
３：2以上の整数nを任意に取る。Ω_n＝{1,…,n} とする。Ω_n 上の完全加法族を Σ_n とする。
可測空間 (Ω_n、Σ_n) 上の数え上げ測度としての確率測度を p_n とする。
このとき、有限確率空間 (Ω_n、Σ_n、p_n) が構成される。
４：問題に戻り、2以上の整数nを任意に取って、閉じた箱をn列に並べる。
箱の中身は私達に知らされていないが、とにかく第1列目の箱たち、…、第n列目の箱たちはどれも形式的にはそれぞれ
s^1、…、s^n
の形で表されるようなn本の実数列を成す。これらのn本の実数列を s^1、…、s^n と略記する。
n本の実数列を s^1、…、s^n は各々決定番号を持つ。
さて、 1〜n の何れかをランダムに選ぶ。
省13
627(2): 2021/08/13(金)12:00 ID:3KF9NHro(4/13) AAS
>>613(>>626の続き)
５：以上の４のようにして、任意の2以上の整数nに対して、
n本の実数列 s^1、…、s^n、
決定番号の最大値 D(n)、及び勝つ確率 p_n＝1-1/n をそれぞれ定義する。
このようにして、決定番号の最大値の列 {D(n)}、確率列 {p_n} は定義される。
628(3): 2021/08/13(金)12:03 ID:3KF9NHro(5/13) AAS
>>613
(知らないうちに age ちゃったけど、>>627の続き)
６：2以上の整数全体の集合を Ω とする。Ω 上の完全加法族を Σ とする。
実数直線R上の完全加法族を Σ(R) とする。1次元ルベーグ測度をμとする。
このとき、(R、Σ(R)、μ) は測度空間である。
2以上の整数nを任意に取る。n次元ユークリッド空間 R^n 上の完全加法族を Σ(R) とする。
このとき、非可測集合の存在性から、(R^n、Σ(R^n)、μ^n) は完備でない測度空間である。
ここに、μ^n はn次元ルベーグ測度である。
直線R上の零集合の全体集合をZで表す。
任意のR上の零集合のルベーグ測度は0であることに注意して、
省11
629(2): 2021/08/13(金)12:07 ID:3KF9NHro(6/13) AAS
>>613
(>>628の続き)
８：正の実数εを任意に取る。
1)：0＜ε＜1 のとき。
有理数の稠密性により、0＜p/q＜ε を満たす有理数 p/q p、q∈Z＼{0} は存在する。
このとき、正の有理数 p/q に対して 0＜1/(N(p/q))＜p/q を満たす最小の自然数 N(p/q) は存在する。
また、有理数の稠密性により、0＜p'/q'＜1/(N(p/q)) なる有理数 p'/q' p'、q'∈Z＼{0} も存在する。
このとき、正の有理数 p'/q' に対して 0＜1/(N(p'/q'))＜p'/q' を満たす最小の自然数 N(p'/q') は存在し、N(p'/q')≧2。
３と４の各議論において、任意に取った2以上の整数nを N(p'/q') で書き換えて、３と４との同様な各議論を繰り返せば、
３と４の各定義から、N(p'/q') に対して、Ω_{N(p'/q')}＝{1,…,N(p'/q')} 上の完全加法族 Σ_{N(p'/q')}
省11
630(1): 2021/08/13(金)12:10 ID:3KF9NHro(7/13) AAS
>>613
(>>629の続き)
2)：ε≧1 のとき。
有理数の稠密性により、0＜p/q＜1/ε≦ε を満たす有理数 p/q p、q∈Z＼{0} は存在する。
このとき、正の有理数 p/q に対して 0＜1/(N(p/q))＜p/q を満たす最小の自然数 N(p/q) は存在する。
また、有理数の稠密性により、0＜p'/q'＜1/(N(p/q)) なる有理数 p'/q' p'、q'∈Z＼{0} も存在する。
このとき、正の有理数 p'/q' に対して 0＜1/(N(p'/q'))＜p'/q' を満たす最小の自然数 N(p'/q') は存在し、N(p'/q')≧2。
３と４の各議論において、任意に取った2以上の整数nを N(p'/q') で書き換えて、３と４との同様な各議論を繰り返せば、
３と４の各定義から、N(p'/q') に対して、Ω_{N(p'/q')}＝{1,…,N(p'/q')} 上の完全加法族 Σ_{N(p'/q')}
と可測空間 (Ω_{N(p'/q')}、Σ_{N(p'/q')}) 上の数え上げ測度としての確率測度 p_{N(p'/q')}、
省12
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